Enfoque de un curso de lógica con énfasis en la tabla de las 16 funciones binarias.

Julio Beltrán

El propósito es entroncar con algún conocimiento que los estudiantes hayan adquirido en su formación previa; y ese conocimiento es el concepto de una función.

Así como transmitir a los estudiantes desde el principio una noción de la utilidad que la lógica simbólica tendrá para su aprendizaje y su ocupación profesional. Eso se puede hacer apuntando a otra experiencia previa que han tenido: el gran avance que significó, para ellos en su educación y para la ciencia en su progreso, la algebrización de la geometría plana, permitiendo al geómetra liberarse de la intuición sensible y la memoria, y en su lugar proceder mediante expresiones simbólicas (ecuaciones) y reglas unívocas para la transformación de aquéllas.

Utilidad del curso en lógica dentro de la carrera de filosofía

Ocupación principal del filósofo y del científico en general con argumentación racional, es decir, con la construcción de argumentos propios y la crítica de argumentos ajenos.

Estudio de la argumentación racional por medio de su analogía con algún modelo artificial que podamos sofisticar progresiva. (Imagen de la red para pescar, cada vez más fina.)

Los argumentos, que es lo que nos interesa, son representaciones de la manera en que la verdad o falsedad de un enunciado (a saber, la conclusión) depende de la verdad de otros enunciados; no, de la verdad o falsedad que tenga independientemente de esa relación o de la verdad absoluta que todos ellos puedan tener.

Si lo que nos interesa es conocer las relaciones entre los valores de verdad previamente establecidos o simplemente supuestos, todo lo que estamos haciendo al criticar un argumento es calcular el valor de verdad de unos enunciados en función del valor de verdad de otros enunciados. No retrocedemos en sus condiciones de verdad hasta preguntar qué relación pueden tener estos valores con cosas distintas de los valores de verdad de otros enunciados. Esta delimitación de la competencia de la lógica no es un defecto, como no lo es para un auditor la capacidad de dividir su investigación en dos partes: levantar un inventario y calcular el valor del mismo. Sólo la segunda de estas dos partes es comparable al trabajo del lógico. Los datos, como el inventario, le son dados por otro tipo de investigaciones.

Proyecto del curso: construir un sistema simbólico fácil de dominar, o sea, en el que podamos calcular mecánicamente el valor de cualquier expresión sintácticamente válidas en función unos de otras cualquiera. Este sistema servirá como modelo del razonamiento natural, si encontramos que éste contiene funciones semejantes. De lograrse, se cumplirá el propósito de reducir la carga de trabajo de la imaginación y la memoria, así como la susceptibilidad a errar en el cálculo intuitivo. Comparar nuevamente esto con las ventajas que trajo la aritmética sobre el cálculo mental, o la geometría algebraica de Descartes sobre la geometría plana de regla y compás.

Introducción del concepto elemental de función.

Recuerdo de las funciones geométricas y su expresión mediante pares de valores.

Reducción, en las funciones de verdad, de infinitos valores a sólo dos. (Sugerencia de que la tarea debe ser entonces mucho más fácil.) Graficación discreta.

Tabla para las funciones de verdad con un solo argumento.

Búsqueda de expresiones lingüísticas en las que se dé la misma relación.

Tabla para las funciones lógicas con dos argumentos.

Búsqueda de expresiones lingüísticas en las que se dé la misma relación. Aporto ejemplos: y, o, si... entonces, o... o ..., ... a menos que ..., ... porque..., ...después... . (Advertencia de que tal vez no todas las funciones tengan una palabra o frase correspondiente en español. Énfasis en el carácter sistemático del modelo.)

Explicación de que la tabla de asignaciones, y nada más que ella, es el significado de la función. O mejor aún, la asignación misma, siendo la tabla una representación gráfica, comparable al plano cartesiano o los diagramas de Venn.

Sintaxis para un álgebra de las funciones de verdad.

¿Cuántos símbolos son necesarios? Constantes proposicionales, operadores singulares y binarios, y signos de puntuación.

Reducción del número de “nombres propios” para las conectivas. Por qué y para qué.

Algunas funciones pueden expresarse por la aplicación combinada de funciones. Por ejemplo, las ocho funciones del lado derecho, aunque podrían tener un signo o “conectivo” propio, son negaciones puntuales de las funciones del lado izquierdo, y pueden expresarse mediante expresiones compuestas de éstas. Otras funciones se obtienen mediante una operación binaria aplicada no a p y q, sino a la negación de uno y/o el otro argumento. Otras más, como la “3”, no requiere sino tomar los argumentos en orden inverso.

¿Habrá funciones lógicas de tres o más argumentos? Se sugiere hacer lo mismo para ellas, pero con la advertencia de que un sistema tan complicado ya no tendría utilidad reductiva. La tabla para las funciones ternarias tendría ocho renglones y 2⁸ = 256 columnas (conectivas). Pero nuevamente, todas ellas se pueden reducir a funciones binarias (o singulares) que toman como argumento otras funciones binarias (o singulares).

Generalización de la tabla para representar funciones bivalentes con tres argumentos de tres o de más argumentos.

Equilibrio entre la economía de funciones elementales y la extensión de las expresiones. Por qué cinco funciones elementales parecen adecuadas. Ventajas de admitir más o admitir menos.

Cálculo verifuncional: representación intuitiva vs. representación algebraica.

Definición del mundo posible como asignación completa de valores de verdad para una infinidad de constantes proposicionales. Los mundos posibles que puede representar este modelo constan de un número indefinido de elementos capaces de tomar uno de dos valores cualesquiera con independencia del valor que tomen los demás elementos (como si fueran monedas rotuladas y voladas.)

La verdad material de cada proposición atómica como pertenencia a una clase en el universo de posibilidades (o mundos). (Vista “lateral” de las tablas de verdad.) De una a tres constantes proposicionales, dificultades para más que eso.)

Diagrama de Venn para un argumento válido en general. Ejemplos con la conclusión vía modus ponens y las equivalencias de De Morgan.

No entraré en detalles sobre ninguno de los métodos algebraicos que utilizamos en clases para calcular la validez de un argumento formalizado, solamente quiero señalar que el número mínimo de reglas de derivación es de 2 (introducción y eliminación) por cada conector verifuncional que hayamos introducido en nuestra gramática. Así, en nuestro sistema las reglas básicas son de diez, pero en un sistema axiomático mínimo pueden ser hasta dos.