Los
poetas no enloquecen; los jugadores de ajedrez sí. Los matemáticos enloquecen,
los artistas creadores muy rara vez. En ningún sentido, como se verá más
adelante, estoy atacando a la lógica. Lo único que estoy diciendo es que el
peligro de enloquecer reside ahí y no en la imaginación.
(una propuesta didáctica para que el
maestro de lógica, después de llevar al alumno para arriba y para abajo, lo
enseñe ahora a ir también para los lados)
Bertrand Russell dijo una vez, que el objetivo de la filosofía es partir de algo tan simple que parezca indigno fijarse en ello y terminar con algo tan paradójico que nadie lo crea.
La palabra principio significa origen o “punto de partida”. Viene del latín primum caput = “el que encabeza”. Los
principios lógicos están en el origen de la demostración como condiciones
necesarias y verdades evidentes. No se discuten ni requieren demostración.
Los principios que gobiernan la
maquinaria de la deducción lógica fueron establecidas por Aristóteles hace más
de 2300 años y en la lógica tradicional son tres: identidad, no-contradicción y
el tercero excluido. Los tres son tan obvios que pareciera indigno fijarse en
ellos.
El principio
de identidad afirma que toda cosa es igual a sí misma. A es A. De P siempre se infiere P. Según el principio de no-contradicción ninguna cosa puede ser y no ser. A no puede ser B y al mismo tiempo no ser B.
Dos proposiciones contradictorias (P
y -P) no pueden ser las dos
verdaderas.
Al principio
del tercero excluido la lógica tradicional lo formuló así: o A es B
o A no es B. Ahora lo leemos del siguiente modo: o bien P es verdadera, o bien su negación (-P) lo es. Entre dos proposiciones contradictorias no hay una
tercera posibilidad, la tercera está excluida.
Estos principios fundamentales de la
lógica se identificaron con las leyes del
pensamiento y por lo tanto, no se cuestionaron. Dicho de otra manera, no se
cuestionaron simplemente porque eran incuestionables. Ya lo decía sutilmente
Aristóteles: no se puede desatar al que no se ha dado cuenta que está atado.
Así como la geometría euclideana era la
única geometría posible y asombraba por su exacta aplicabilidad a la realidad,
así estas leyes aristotélicas describían con exactitud la única manera correcta
de pensar.
Pero en la primera mitad del siglo 19,
después de una complicada serie de pruebas e intentos alrededor del famosos
postulado de las paralelas (postulado 5 del Libro I de Euclides), el matemático
ruso Nicolás Ivanovich Lobachevski (1793-1856) construyó una geometría en la
que resultaba falso el 50postulado de Euclides. Lobachevski, Gauss y
Bolyai llegaron a la conclusión de que la geometría euclideana no era sino una
entre varias geometrías que se distinguen entre sí porque cada una parte de un
conjunto particular de axiomas cuya validez exige solamente consistencia.
La geometría de Euclides dejó de ser la geometría para convertirse en
una más. Este descenso de la
geometría euclideana de su categoría de “única” minó el status de invulnerabilidad
del que gozaba la lógica pues algunos lógicos comenzaron a pensar que, aún
cuando estas tres sencillas leyes correspondiesen con exactitud a nuestra
manera de razonar, eso no las revestía de ningún carácter especial. El histórico caso de las paralelas
sirvió de escarmiento contra las prohibiciones apriorísticas; las leyes de la
lógica dejaron de ser inviolables y los tres principios básicos fueron desafiados en nuevos sistemas explorados
por los lógicos. Pero fue el tercero, el llamado principio del tercero excluido, tercio
excluso o tertium non datur el
que fue sometido a mayor escrutinio; de él vamos a platicar un rato hoy.
Pero antes, quisiera señalar el
carácter reflexivo y pedagógico -más que erudito o académico- de esta
comunicación, e invitarlos a repensar este principio: qué significa, cuándo se
aplica, cuáles son los mejores modos de comunicar su contenido y dónde buscar
los materiales más adecuados para presentarlo y explicarlo en un salón de
clases.
De entrada, sugiero que el camino sea aristotélico en el sentido de primero ir
al encuentro del principio del tercero excluido en lo que es más conocido para
nosotros, i.e., en la lógica formal y
clásica, con plena carta ya de disciplina científica y tal como se imparte en
los primeros cursos de la enseñanza media y superior[1];
y después dirigirnos a lo que, si bien no estoy segura de que sea más conocido
por la naturaleza, sí es menos conocido para nosotros: las “otras” lógicas o
lógicas no-clásicas. Al final, el
maestro le abrirá al alumno la puerta de acceso a las vicisitudes de los
protagonistas humanos de esta extraña y singular historia acerca de la tolerancia lógica.[2]
la intolerancia humana y el principio del tercero excluido. Ella dará
testimonio de que la lógica no es la divina contemplatriz de la vida, serena e
inmutable; eternamente ajena a las tragedias humanas.
Cada vez es menos extraño encontrar
libros de textos y tratados de lógica con algún capítulo -generalmente al
final- dedicado a las lógicas no clásicas. Son lógicas que difieren en algún
rasgo de la lógica clásica, y por esta razón habría que entender aquéllas
contra el fondo de ésta.
En el cálculo proposicional clásico que
se enseña hoy en las escuelas de educación media y superior, todo enunciado
tiene dos, y sólo dos, posibles valores de verdad: verdadero o falso. P
o -P. El principio del tercero
excluso hace a la lógica una lógica bivalente. Dicho sea de paso, en este
supuesto se apoyan todas las demostraciones matemáticas por reducción al
absurdo (que son muchísimas).
A principios de los años veintes,
algunos lógicos como Emil Post y los polacos Jan Lukasiewicz y Alfred Tarski
hicieron a un lado el principio del tercero excluso y mostraron que era posible
construir sistemas lógicos trivalentes perfectamente consistentes. En la
actualidad hay más de tres mil versiones. Estos sistemas, a los valores
“verdadero” y “falso”, han añadido el antes excluido del tradicional sistema
binario, ahora incluido en los nuevos sistemas y lo llamaron “indeterminado”,
“dudoso” o “incierto”.
A partir de entonces se han venido
inventado sistemas polivalentes con más de tres valores de verdad e incluso se
han construido sistemas con infinitos valores de verdad, lo cual parece indicar
que el principio del tercero excluido no estaba escrito en el Cielo.
Junto a estas lógicas tri y
polivalentes que se presentaron como extensiones de la lógica clásica apareció
una que se presentó a sí misma no como una extensión sino como alternativa y un
desafío a ella: la lógica intuicionista derivada de la filosofía de las
matemáticas del matemático y filósofo holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer
(nace en 1881 y muere en un accidente de carretera en 1966).
Las aplicaciones de la lógica en
las matemáticas son tan obvias que no necesitan ser defendidas: fueron las
matemáticas las que dieron lugar a la lógica matemática o lógica moderna,
después llamada lógica clásica o standard.
Los logicistas consideraron que
la matemática era parte de la lógica y buscaron en ésta, la garantía para
aquélla. Para eso nació la lógica matemática, para proveer de cimientos al
edificio de las matemáticas y afianzar su construcción. A este proceso se le
conoce como la historia de la “fundamentación lógica de las matemáticas”.
Que la lógica proposicional
clásica -bivalente y sin functores intensionales- junto con el cálculo de
predicados de primer orden con igualdad, y la teoría de conjuntos, son
suficientes para la formalización de (casi) todo el razonamiento matemático es
algo aceptado hoy en día (casi) por unanimidad. Queda, sin embargo, el problema
de si basta para la formalización de cualquier razonamiento -y en particular de
los argumentos filosóficos- en lenguaje natural. Es así que el desarrollo de
las lógicas no clásicas estuvo motivado, o bien por la necesidad de acercar la
lógica al lenguaje natural (por ejemplo, las lógicas relevantes o las
paraconsistentes), o bien por el deseo de hacer más precisas ciertas ideas
filosóficas vía conceptos lógicos (por ejemplo las lógicas polivalentes), o
ambas cosas (por ejemplo las distintas lógicas modales -alética, doxástica,
deóntica, epistémica, temporal, etc.). [3]
No es el caso del intuicionismo
y la lógica intuicionista. Porque Brouwer no acepta que la lógica clásica sea
suficiente para formalizar el razonamiento matemático; de hecho, ni siquiera acepta
que sea necesaria. El objetivo del
primer capítulo de su disertación doctoral (Amsterdam, 1907) fue mostrar
que nuestro
razonamiento es razonamiento matemático, que el razonamiento matemático no es razonamiento lógico ni necesita de
su intermediación, [...] que tal vez sólo por inercia las matemáticas mantienen
vivo el lenguaje que acompaña al
razonamiento lógico ya que su uso ha desembocado, en la vida común y corriente
en toda clase de malentendidos, y en las matemáticas en las falsas nociones de
la Teoría de Conjuntos. Estas nociones surgieron como consecuencia de que las
matemáticas hacen uso del lenguaje del
razonamiento lógico, a pesar de que
nuestro razonamiento no es lógico sino matemático, algo totalmente distinto
[...] El lenguaje no juega otro papel que el de memorizar las construcciones
matemáticas, de tal suerte que la lógica por sí misma es incapaz de crear
nuevos sistemas matemáticos e incapaz también de deducir algún “estado de cosas
matemático”.
El propósito del capítulo 2 fue
mostrar
que la lógica
no nos enseña nada del mundo, que únicamente está al servicio de abogados y
demagogos, que no es un medio para enseñar a la gente sino para engañarla. […]
El mundo no es un sistema lógico, y por lo tanto no podemos discutir acerca de
él lógicamente [...], sabemos que las únicas disputas posibles son aquellas que
pueden entablarse mediante el razonamiento matemático. La fundamentación de la
matemática en la lógica, la teoría de conjuntos y los números transfinitos muestran el peligro de caer en un
camino falso por hacer uso del razonamiento
lógico.
Brouwer fue un rebelde. Pero fue
también un brillante matemático, y sabía que sus protestas quedarían como un
grito en el desierto si no convencía a sus colegas de su enorme capacidad como
matemático y mostraba los errores que involucraban las otras filosofías. Por
eso dedica cinco años de su vida (de 1907 a 1912) a la rama más joven de las
matemáticas: la topología. Prácticamente él fue su creador. La calidad y
cantidad de sus trabajos (nuevos teoremas, nuevos métodos, cientos de artículos
y más de cuarenta trabajos mayores) además de ser una prueba contundente de su
maestría en matemáticas, le proporcionaron un sólido prestigio internacional. Su
genio y originalidad fueron reconocidos públicamente por Hilbert, Poincaré,
Klein, Mannoury, Einstein (entre otros) y le valieron (1912) un professorship de su alma mater, la universidad de Amsterdam.
Una vez establecida su autoridad
y asegurada su posición y economía, Brouwer regresa con nuevos ímpetus a su
verdadero interés, su programa intuicionista. El resto de sus energías las
concentrará Brouwer en una reconstrucción completa de las matemáticas y un
ataque renovado contra los excesos del formalismo de Hilbert y del logicismo de
Russell y asociados.
Brouwer fue un tipo extraño y
brillante. Egocéntrico, catatónico y misántropo, se sentía a disgusto con todos
los que entraban en contacto con él y prefirió aislarse por largos períodos de
tiempo en una cabaña campestre que el personalmente construyó para recluirse a
trabajar. A pesar de su falta de interés en la gente, Brouwer fue hipersensible
y se involucró una y otra vez en interminables disputas, reales e imaginarias.
Su ambición desmedida por el prestigio internacional y su desconfianza, casi
patológica, hacia sus colegas, hicieron imposible cualquier cooperación.
Brouwer convertía los debates académicos en batallas y a los amigos que no
compartían sus ideas, en enemigos.
Su obra constituye el manifiesto
de un matemático muy enojado porque siente amenazada la autonomía de las
matemáticas por las pretensiones “fundacionistas” y colonizadoras de la lógica.
Él quiere unas matemáticas libres y soberanas y luchará toda su vida por evitar
que la lógica le imponga sus leyes. Por su origen, la matemática tiene con la
lógica una relación indisoluble. Liberarla de ese pecado original fue el mérito
de Brouwer.
Las críticas de Brouwer a las
posiciones realistas de los logicistas se concentraron en la aplicación de la
lógica clásica [proposicional y de predicados] a totalidades infinitas. Brouwer prohibió los infinitos como
totalidades completas y prohibió asumir que una proposición es o verdadera o
falsa antes de probar de un modo explícito o lo uno o lo otro.[4]
Y en su búsqueda de errores matemáticos consecuencia del uso de principios
lógicos, Brouwer centró su atención en el principio
del tercio excluso y en el concepto de negación.
No siempre se entiende bien
la filosofía de Brouwer; a veces, se
cree que la lógica intuicionista es una lógica que niega el principio del tercio excluso y la doble negación.Eso no es
verdad.
La recusación intuicionista de
la ley del tercio excluso no debe entenderse como una negación de esta ley.
Recusar no es negar. Recusar una ley es rehusarse a admitir su validez así sin
más; es ponerle tachas y peros, es no anticiparse, es tener la precaución de
decir: “vamos a ver si aquí sí o si aquí no”.
El intuicionismo no niega el
tercio excluso o la doble negación, nos
ofrece una nueva teoría de estos principios. [5]
El principio del tercero excluso no es
para Brouwer una tautología sin sentido sino una extrapolación injustificada a
conjuntos infinitos de un hecho que puede en general probarse para conjuntos
finitos. Con este principio Brouwer ilustra su tesis: los principios lógicos no son confiables y en él se apoya para
decirnos “no te fíes de la lógica, no necesariamente toda proposición
representa una verdad demostrada o una falsedad probada”; i.e., una construcción o una refutación. La existencia de hipótesis
no probadas y de problemas matemáticos no resueltos es una refutación del
principio del tercero excluso.
Porque Brouwer no niega el
principio del tercero excluso es que puede rechazarlo y al mismo tiempo afirmar
la negación de la negación de esta ley:
— —(p
v—p) sí vale
(p
v—p) no vale
Aún menos hay que entenderla
como afirmación de un tercer valor veritativo intermedio entre la verdad y la
falsedad. La lógica intuicionista no es una lógica trivalente.
Como consecuencia a su
recusación del principio del tercero [m1]excluso,
Brouwer rechaza lo que describe como “casos particulares” de este principio:
que verdad y no contrariedad o absurdidad de absurdidad, sean equivalentes (la
complementariedad verdad/absurdidad) y la prueba indirecta o demostración por
reducción al absurdo.
Su original enfoque de la
negación, llevó a Brouwer a resultados muy interesantes, incluso -y muy a su
pesar- en el campo de la lógica. Su interpretación estricta de la negación o
"absurdidad", generó una nueva lógica: el "cálculo de
absurdidades" o lógica de Brouwer.
En general la doble negación de
una proposición es más débil que la proposición misma,
—(—p)®
p no es válido en la
lógica intuicionista
aunque p® —(—p), sí lo es;
pero la triple negación de una
proposición sí es equivalente a su simple negación,
—(—(—p))
« --p
En palabras de Brouwer:
“absurdidad de absurdidad de absurdidad es equivalente a absurdidad”
La prueba por reductio ad absurdum es un ejemplo de
razonamiento lógico (ergo, no matemático) y, por ende, es una muestra de un
modo falaz de razonar. Si queremos demostrar p y suponemos —p y
llegamos a una contradicción, no hemos demostrado p -dice Brouwer. Lo que hemos encontrado es una refutación de —p, es decir, hemos demostrado —(—p),
pero de ahí no podemos inferir p.
El rechazo de la
complementariedad de verdad y absurdidad obviamente invalida la equivalencia
clásica — —p «
p pues
— —p ® p no es válido, aunque p®
— —p sí lo es.
Es decir, el intuicionismo acepta la
refutación pero no la prueba por RAA.[6]
Ejemplos:
¿Existe en la expansión decimal de p (3.14159…) un dígito más frecuente?
No tenemos ni una prueba ni una
refutación.
El número de parejas de dígitos
iguales en la expansión decimal de p,
¿es finito or infinito?
No tenemos ni una prueba ni una
refutación.
La secuencia 123456789 ¿aparece
o no aparece en la expansión decimal de p?
Por el momento, no tenemos ni
una prueba ni una refutación.
Por la ley del tercero excluido
son verdaderas las proposiciones que dicen que o bien existe en la expansión
decimal de p un dígito más frecuente o bien
no existe; o bien el número de parejas de dígitos iguales en la expansión
decimal de p es finito o bien es infinito.
En particular, por la ley del
tercero excluido es verdadera la proposición que dice que la secuencia
123456789 o bien aparece, o bien no aparece en alguna posición de la expansión
decimal de p; uno puede a continuación
proceder a definir un número n como
la posición menor en la que aparece el primer caso, y 0 si no aparece.
Oponiéndose a esta visión
platonista, Brouwer restringe el conocimiento matemático a las construcciones
mentales y demostraciones que se pueden saber.
Para poder decir que sabemos que una
proposición P es verdadera necesariamente tenemos que tener una demostración de
ella; para saber que su negación ¬P
lo es, necesitamos de una refutación de P, i.e.,
una demostración de que P nos lleva a una contradicción.
En el ejemplo que estamos
considerando, para la proposición que afirma que la secuencia 123456789 aparece
en alguna posición de la expresión decimal de p, no hay por
el momento, ni una prueba ni una refutación; por tal razón no hay una
construcción del número n.
Las posturas logicistas y
formalistas aceptan la ley del tercero excluido Pv¬P para cualquier proposición
P (incluidas las que se refieren a totalidades infinitas). En otras palabras,
se acepta que o bien P es verdadera, o bien P es falsa. Y esto no puede
aceptarlo, así en general, un intuicionista, puesto que no puede estar seguro
de poder encontrar para toda P, o una prueba o una refutación.[7]
Otro ejemplo: Todo número real
del intervalo cerrado [0,1] tiene una representación r=0.a1a2a3…
(donde cada an=0,1,…,9). Si P(n)
es la propiedad "an es menor que 9", uno tiene que admitir:
o bien existe una n tal que P(n), o bien, para toda n, P(n)
falla. (ley Z).
La ley lógica Z se reduce, en este caso, a la
proposición "o bien r=1, o bien r
es distinto de 1.[8]
Desde luego que la ley lógica Z puede probarse cuando n recorre un conjunto finito de enteros
y P(n) es un predicado decidible[9];
Brouwer argumenta que la aceptación de esta ley lógica se basa en una
extrapolación injustificada a conjuntos infinitos.
También es digna de notar la
recusación intuicionista de
—(x)F(x) ® ($ x) —F(x)
pero es válida para el
intuicionista la implicación inversa
($
x) —F(x)
® —(x)F(x) [10]
A partir de Brouwer, al tratar a
la lógica como una herramienta de descripción y formalización del razonamiento
matemático, es necesario distinguir entre: matemática clásica y matemática
intuicionista.
La matemática intuicionista
requiere, por un lado, una lógica menos fuerte que la clásica (de la cual se
excluyen algunas leyes, e.g. el
tercio excluso), y por otro, de un razonamiento más poderoso que cualquier lógica,
el razonamiento matemático.
¿Cuál es la naturaleza de la fuerza que se le asocia al razonamiento
matemático? Las demostraciones de los teoremas parecen manifestar una forma
particularmente potente de persuasión, ¿cómo podemos poseer intuiciones tan
profundas de cosas tan grandiosas? -se pregunta Brouwer.
Brouwer se
interesó en los fundamentos de las matemáticas; pero en contraste con los
estudios "clásicos" de los fundamentos, tales como el de Russell, que
pretenden suministrar una definición de los conceptos matemáticos en términos
de conceptos lógicos, su tesis es que las matemáticas no tienen ningún
fundamento fuera de ella misma. Su
propósito fue “llevarnos a apreciar el trabajo
del razonamiento matemático, momento a momento, en el sitio donde tiene lugar
[la mente humana]".
A la lógica fundada por Frege y
Russell se le llamó en un principio lógica matemática porque se le tenía como
apropiada para las matemáticas. Después de Brouwer y Heyting se le llamó
también lógica clásica como contrapuesta a la lógica intuicionista.
En este sentido, las lógicas modales pueden verse como clásicas, ya que
no cambian el significado de las constantes lógicas clásicas; solamente añaden
nuevas constantes (los operadores modales de necesario, contingente,
posible, imposible, permitido, prohibido, obligatorio, meritorio, indiferente,
etc.). Las llamadas lógicas libres son simplemente lógicas clásicas de primer
orden (o lógicas modales) sin presupuestos de existencia[11].
La imagen popular del matemático es la de una persona de
argumentaciones austeras, objetivas e impersonales en la que no hay lugar para
el fanfarroneo o la insinuación, pero el debate que se dio entre las tres
grandes escuelas, logicismo, formalismo e intuicionismo -y en particular entre
las dos últimas- a principios del siglo 20, desmienten esta idea.
Comparativamente a otros ámbitos académicos, los pleitos en matemáticas
son raros, pero cuando se dan, exhiben una ferocidad y longevidad rayana en la
locura.
En el conflicto por la fundamentación de las matemáticas sobresalen dos
batallas. La primera se dio entre
el constructivista Kronocker -que abocaba por un intuicionismo primitivo- y
Cantor, el genial creador de la teoría de conjuntos y los números transfinitos,
quien hizo uso liberal y profuso de los infinitos actuales y la reductio ad absurdum.
Este primer combate termina
cuando Kronocker muere y Cantor pierde la razón. Cantor ya había sufrido crisis
mentales con cierta frecuencia pero los últimos diez años de su vida los pasó
recluido en hospitales psiquiátricos y clínicas de salud mental.
Al triste y sordo espectáculo
del conflicto tenso y cargado entre Kronecker y Cantor habría de seguirle el
largo período de relaciones tragi-cómicas entre Luitzen Brouwer y David
Hilbert. El debate intuicionismo-formalismo había pasado a ser feudo personal
de estos dos gigantes de las matemáticas.
“La tolerancia jamás produjo
guerras, la intolerancia ha convertido a la Tierra en una carnicería” -escribió
Voltaire, y de ello dan testimonio la violencia, crueldad y ceguera del pleito
Hilbert-Brouwer.
El punto final lo puso Hilbert
en 1928 con la expulsión de Brouwer del comité editorial de los Mathematische Annalen.
Los Mathematische Annalen (creada en 1868) eran en los años veintes,
sin lugar a dudas, la mejor revista de matemáticas; con una reputación sin
paralelo. Ser editor de esta revista era una marca de enorme prestigio para
cualquier matemático. Tanto Brouwer como Einstein, habían sido editores de ella
desde 1915. Hilbert fue editor en jefe y director.
Albert Einstein caracterizó las
tragicómicas relaciones entre Hilbert, Brouwer y sus respectivos seguidores
como Frosch-Mäusekrieg: (la batalla
de los sapos y los ratones) y a Brouwer como “caso clásico de la fina línea
divisoria que separa a la genialidad de la locura”.
El término Frosch-Mäusekrieg lo toma Einstein de un antiguo poema griego, la Batrachomachia (c. 500 a.C.) de autor desconocido y de una posterior versión
alemana medieval del mismo poema que debemos a Rollenhagen.
Cuando la guerra Hilbert-Brouwer
se calentó, tanto los aliados del uno (Max Born et al) como los del otro (Blumenthal et al) intentaron ganarse para su causa a Albert Einstein con
idénticos resultados. Ninguno tuvo éxito porque Einstein no quiso tomar
partido.
En una carta de 1928 al físico
Max Born, Einstein le comenta su desacuerdo con la decisión de Hilbert,
director de los Mathematische Annalen,
de expulsar a Brouwer del consejo editorial de la revista. En la misma
carta advierte a su amigo que no se
involucrará en el asunto:
Si la
enfermedad de Hilbert [Hilbert estaba muy enfermo en 1928] no le diera cierto
carácter trágico, esta guerra de tinta sería para mí una de las más divertidas
y más exitosas farsas representadas por aquellas gentes que se toman a sí
mismas demasiado en serio. Objetiva y brevemente podría decirte que, en mi
opinión, creo que a la exagerada influencia que el un tanto lunático Brouwer
tiene en la administración de los Annalen,
sería posible darle algún remedio menos doloroso que su expulsión del consejo
editorial. Esto, sin embargo, sólo te
lo digo a ti en privado pues has de saber que no tengo ninguna intención de
entrar a competir en esta batalla entre sapos y ratones con otro lance de
papel. [Citado por Barrow]
Hilbert tuvo mucho miedo a las
ideas de Brouwer -tan radicalmente opuestas a las suyas- y a su furia, y buscó
silenciarlo. “Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó para nosotros”
fue su grito desesperado.
Brouwer tuvo miedo al poder, al
rencor y al encono de Hilbert y buscó defenderse atacándolo. Ciertamente quien
reivindica la persecución y expulsión de los que disienten de él puede ser
realmente temible si tiene los medios para llevar a cabo sus deseos.
Brouwer perdió. En diciembre de
ese mismo año, tras haber sido acusado por Hilbert de psicópata, Brouwer es
destituido para siempre del consejo editorial de los Annalen.
Expulsado y humillado, Brouwer
cae en una grave depresión y pierde todas sus ilusiones y su entusiasmo
precisamente cuando su mayor opositor, el programa formalista, se revela como
fundamentalmente defectuoso y colapsa.
En ese momento de crisis entra
en escena Arend Heyting, su alumno más leal. Su propósito es mantener con vida
la causa intuicionista, estudiarla y difundirla. En manos de Heyting, el
intuicionismo cae en el formalismo y da lugar a importantes progresos en
términos constructivistas en varias áreas de las matemáticas.
La formalización que Heyting
hace de la filosofía intuicionista de su maestro en 3 famosos artículos [uno de
1928 y dos de 1930] cambió su curso: los movimientos tendientes a la separación de las matemáticas de la lógica
viraron 180 grados y, en consecuencia -e irónicamente-, buena parte de la
filosofía brouweriana fue abandonada.
En la actualidad, solo los
historiadores han mantenido el interés por el intuicionismo; entre el público
culto en general, Brouwer es recordado principalmente por su original enfoque
del principio del tercio excluso y del concepto de negación. Su mensaje de una
nueva filosofía de las matemáticas ha sido casi olvidado.[12]
A partir de su expulsión de los Annalen, se acentuaron en Brouwer el
aislamiento, su negativismo, el delirio de persecución, la intolerancia y los
rasgos esquizoides de su personalidad.
En ningún
sentido estoy atacando a la lógica. Lo único que estoy diciendo es que el
peligro de enloquecer reside en la razón, no en la imaginación.
Yo no sé por qué extraña razón
tenemos la perversa idea de que imaginar significa fantasear, verbo que, en
nuestro confuso vocabulario, quiere decir alejarse
de la realidad. Cuando en verdad sucede todo lo contrario, quien no
imagina, encadena su razón y, por lo tanto, desconoce para siempre la realidad
que le rodea.
María Elena Madrid aconsejaba en su última videoconferencia el uso
de narrativas para la enseñanza de la filosofía a los niños. El maestro
Francisco Serrano le sugirió añadir estudios de caso como eficaz herramienta,
sugerencia que fue bien acogida por la expositora. Yo retomo ambas ideas y les
ofrezco a los matemáticos y a los lógicos, como post-script al entero episodio
de la tragicomedia de Hilbert y Brouwer, la fábula del matemático
norteamericano John Hays, “The Battle of the Frog and the Mouse”[13]
que es al mismo tiempo narrativa y estudio de caso.
Un cuento como éste, que además
es un estudio de caso, se agradece. Nos alerta contra un peligro que en cierta
manera nos atañe a todos y nos resulta útil para enseñar a nuestros alumnos a,
después de ir para arriba y para abajo de los aspectos teóricos de la lógica,
ir también para los lados.
Si mi método les parece malo,
permítanme recordarles que los métodos son sólo momentos de un proceso
educativo. El método perfecto no existe y jamás existirá. Todos los métodos son
igualmente malos y cualquiera es igualmente susceptible de volverse bueno si el
maestro lo adapta a las necesidades y carencias propias de sus educandos. Los
estudiantes de matemáticas tienen necesidad de las humanidades, de narrativas y
de estudios de caso. …En ningún sentido vayan ustedes a pensar que estoy
atacando a la lógica. Lo que yo quiero
decirles es otra cosa: que la lógica está en todo pero que no todo es lógica.
Maestros y educadores en general
buscamos ser y ayudar a otros a ser y sabemos que el postulado socrático
“conócete tú a ti mismo” es ineludible. Esto significa que no es posible
descargar en los profesores la tarea educacional.
Todo estudiante y todo educador,
en sus libros, en sus especulaciones, en sus clases, en su computadora, en sus
estudios, siente inmediatamente la exactitud de lo que estoy diciendo: Tienes que conocerte a ti mismo porque el
conocimiento no está afuera. No está en la lógica ni en las matemáticas; no
está en las ciencias ni en las artes; no está en el libro, ni en el maestro;
pero de todo esto tenemos necesidad para alimentar, dentro, el pensamiento
nuestro que es la vida nuestra.
De todas esas cosas -incluida la
prueba por reducción al absurdo y el tercero excluido- necesitamos para
aprender a escuchar dentro de nosotros la voz que nos llevará a responder la
perplejidad que Descartes formuló así: Quod
vitae sectabo iter? ¿Qué camino de vida eligiré [en busca de una existencia
lo más mía posible]?
Conócete
a ti mismo porque el conocimiento no está afuera. Dirán ustedes que esto es poco decir
en nuestros días pedagógicos, cuando todos sabemos que el mejor maestro sólo
interviene ayudando al discípulo para que éste explicite lo implícito, aclare
lo obscuro, infiera lo supuesto, aplique lo inferido.
Tan anchuroso y dilatado es hoy
el campo de la teoría y la práctica del arte de enseñar que a la carrera de
pedagogía le ha seguido en México la creación de la universidad pedagógica y no
se teme ahora hablar de Ciencias de la
Educación , así, en plural y con mayúsculas.
A este propósito específico no
faltará quien prejuzgue que, en un tan moderno Taller de Didáctica de la Lógica como lo es el nuestro, que utiliza
las más avanzadas y sofisticadas técnicas de comunicación y educación a
distancia, que sus miembros nos valemos del e-mail,
del power point, la video
conferencia, la página web, los attachments y el “forwardeo” para
vernos, oírnos, platicarnos y educarnos (¡Dios mío! yo no soy suficientemente
nueva en este mundo para poder decir todo esto sin que se me enchine el cuerpo
y se me alborote el alma); no faltará, digo, quien prejuzgue que en un tan moderno
Taller, la figura de Sócrates sólo puede ser evocada como mero oportunismo
temático o por una personal querencia extemporánea (entre paréntesis, que
Sócrates es una personal querencia es verdad; de él me interesan y me
sobrecogen tanto sus ideas como su talante).
Esto significaría que las ideas
pedagógicas de un educador que vivió hace ya la friolera de 25 siglos en la
Atenas de Pericles, guardarían nula o muy escasa relación con lo que ahora, y
concretamente en el predio de la lógica, solemos sobreentender cuando
escuchamos la palabra “didáctica”.
Pero Sócrates no es simplemente
un educador. El helenista Werner Jaeger lo proclama “el fenómeno pedagógico más
formidable de la historia de Occidente” y, en actitud defensiva, yo podría
comenzar recordándoles una obviedad: la enseñanza de la lógica comprende y
presupone muchos cuestionamientos comunes a la problemática educativa en toda
su extensión. De suerte que si Sócrates fue educador relevante, algo debe tener
que enseñarnos a los profesores de lógica, a los que son, y a los que
pretendemos llegar a ser expertos en didáctica de la lógica.
Su ideario pedagógico se aplica
a la educación -a secas y sin adjetivos- y por lo mismo a cada uno de las ramas
o modalidades en que deseemos dividirla y subdividirla, incluidas, claro está,
la enseñanza de la lógica, la enseñanza de la lógica y la enseñanza del
principio del tercero excluso.
Pero me atendré a la
particularidad temática de este Encuentro para afirmar que la contraseña de
“maestro de lógica” le compete a Sócrates en su connotación más plena: ¿acaso
dedicó él su vida pública a otra cosa que a la difícil pero gozosa tarea de
enseñar a razonar a jóvenes y viejos?
Y ya que estamos hablando de
nuestra preocupación por la utilidad de las narraciones para la enseñanza de la
lógica, bueno sería dedicar unos instantes a recomendarles a Borges, a Lewis
Carrol, a Chesterton, a Poe. En algunos me atrae la manera como está mostrada -para emplear un término
wittgensteiniano- la tensión entre la lógica y la literatura, entre el rigor
del lenguaje formal y la libertad que el uso del lenguaje de la vida ofrece. En
este sentido Carrol es un autor fascinante. En otros me seduce su modo de
mostrarnos nuestra racionalidad. En esto Chesterton es maestro.
Como muestra, he aquí el inicio
de una narración de Chesterton que podemos ofrecer a nuestros alumnos como un
sabroso postre a la lección del principio lógico del tercero excluso:
El profesor
Openshaw perdía siempre la calma con un fuerte puñetazo dado sobre cualquier
parte si alguien lo llamaba espiritista o creyente en espiritismo. Pero esto,
sin embargo, no agotaba sus explosivas facultades porque también perdía la
calma con un fuerte puñetazo dado sobre cualquier parte si alguien lo llamaba
incrédulo en espiritismo. […] y no había nada que lo complaciese más que
sentarse en un círculo de devotos espiritistas y hacer minuciosas descripciones
de cómo él había puesto en evidencia a medium
tras medium y fraude tras fraude;
porque realmente era un hombre de talento detectivesco y claridad de ideas una
vez que había fijado su vista en un objeto sospechoso, y siempre la había
fijado en un medium como en un objeto
altamente sospechoso. […] Sus relatos dejaban a los verdaderos creyentes más
bien sin reposo, cuando en realidad era reposo lo que intentaban alcanzar. Pero
apenas podían quejarse, ya que los espiritistas no niegan la existencia de los media fraudulentos; sólo que las
desbordantes narraciones del profesor parecían indicar que todos los media eran fraudulentos. [“The Blast of
the Book” de Gilbert K. Chesterton].
¿Qué pasa con el Profesor
Openshaw? ¿Se contradice, niega que ser espiritista o no serlo agota todas las
alternativas posibles o simplemente se rehusa afirmar tanto E como no-E
mientras no tengamos o una prueba o una refutación?
Este cuento, que en palabras de
Borges “simula ser policial pero es mucho más”, al inicio nos propone un enigma
a primera vista indescifrable, sugiere después una solución no menos mágica que
atroz, y por fin arriba a la verdad
que procura ser razonada y razonable.
Para muchos, la lógica ha dejado
de ser un placer disfrutable simplemente porque le tienen miedo. Nosotros no
estaríamos en un Taller de Didáctica de
la Lógica si nada más nos preocupara definir los contenidos de los cursos de
lógica. Nos interesan los contenidos pero también la forma, el modo y los
estilos para presentarla. Sabemos que la belleza es un asunto de forma, de
sintaxis, -en última instancia- de lógica. Queremos promover la belleza porque
deseamos que la lógica siga siendo lo que era para Sócrates: un vínculo de
comunicación, relación y entendimiento; no de alejamiento.
Así pues, en las clases de
lógica a los estudiantes de matemáticas, los maestros cruzaremos los géneros
para reafirmar la felicidad del alumno; para decirle de nueva cuenta y de
distinta manera cada vez, que la lógica está en todo pero que no todo es lógica
y que, gracias a esto, en las clases de lógica caben tanto los Galileos y los
Newton como los Chesterton y los Sócrates. La ciencia cabe, la literatura cabe,
la poesía cabe, los razonamientos caben y hasta las emociones caben. Y caben
porque la lógica no es cosa aparte, porque es cosa muy nuestra. Porque coincide
con la vida del hombre, por eso es que tiene valor.
En nuestras clases de lógica
démosle vida a la lógica mostrando la lógica en la vida.
Maruxa Armijo
maruxa@servidor.unam.mx
noviembre
2000
LECTURAS SUGERIDAS
Brouwer's Intuitionism
de Walter P.
van Stigt
Elsevier Science Publishers B.V.1000 AE
Amsterdam, The Netherlands, 1990
En este libro, el autor expone extensamente la filosofía
de Brouwer y encuentra una
relación muy fuerte entre sus ideas filosóficas, su Weltanschauung y su
carácter.
Pi
in the Sky. Counting, Thinking and Being
de John D. Barrow
Clarendon Press, Oxford, 1992
John Barrow es profesor de astronomía
en la universidad de Sussex. En la introducción define su libro como “un libro
acerca de las matemáticas sin ser un libro de matemáticas” y le dedica un
capítulo al intuicionismo.
“Ethics and the
Excluded Middle: Karl Menger & Social Science in Interwar Vienna”
de Robert J.
Leonard (University of Quebec, Montreal).
ISIS, vol. 89, no. 1 march, 1998 (pp. 1-26).
Este artículo
sobre el matemático Karl Menger ilustra la relación entre su postura en el
debate intuicionismo-formalismo -poniendo particular atención a su ruptura con
Brouwer- y su interés en el aspecto formal o estructuras lógicas de la ética,
en una época en la que la lógica estaba en pleno proceso de transición (aunque
mejor sería decir que estaba viviendo el fin de una forma autoritaria de
ejercer su poder sobre las matemáticas y empezando, apenas, el proceso hacia la
introducción de la “tolerancia lógica”).
Karl Menger
“Introducing Logical Tolerance”
en Selected Papers on Logic, Foundations, Didactics &Economics.
Reidel, Dordrecht, 1979 (p.
11-16)
Menger
relata la pobre respuesta que sus cuestionamientos acerca de la unicidad del
lenguaje de la lógica recibieron en el Círculo de Viena: “Moritz Schlick y
Friedrich Waismann se rehusaron a tomar en serio mi escepticismo…; Hans Hans
tuvo una disposición desfavorable…; Rudolf Carnap, al principio también meneó
la cabeza…; Otto Neurath no se interesó gran cosa en la cuestión…; mientras que
Victor Kraft permaneció todo el tiempo en silencio y mi amigo Fritz Kaufmann se
mostró mortalmente contrario a mi idea.” Y es que Menger rechazó el supuesto
adoptado por la mayoría de los miembros del Círculo de que la lógica, en tanto
el cuerpo de reglas para la creación de las matemáticas, era única y absoluta.
[1] Lógica proposicional y lógica de
predicados de primer orden.
[2] La mayoría de los miembros del Círculo
de Viena veían a la lógica (sistema de reglas mediante las cuales se hacía
matemáticas) como única. Esta visión simplista y absoluta de la lógica
desapareció con la filosofía de las matemáticas de Russell, Brouwer y Hilbert.
El matemático era ahora doblemente libre: podía elegir las propiedades básicas
o axiomas, y también las reglas para su transformación.
[3] Algunos autores han explicado el
nacimiento de esas lógicas en función de dificultades surgidas en el seno de la
teoría clásica standard. Van Frassen
dice que las lógicas non-standard
tienen su origen sobre todo en la aparición de paradojas en la lógica “normal”:
la lógica intuicionista, a las paradojas de la teoría de conjuntos, la lógica
modal, a las paradojas de la implicación material, la lógica libre, a la
paradoja de que de una verdad lógica se siga su existencia. [véase
“Presuppositions, Supervaluations and Free Logic” en The Logical Way of Doing Things, K. Lambert (ed) Yale Univ. Press,
1969, pp 67-69].
[4] En contraste con la postura logicista
(platónica idealista), el intuicionismo concibió las colecciones infinitas como
totalidades no completas sino potencialmente infinitas.
[5] La llamada lógica intuicionista -al
menos la de Heyting, Kolmogorov y Glivenko- fue desarrollada primordialmente
para precisar estas teorías y la filosofía que les dio vida. Los trabajos
posteriores -por ejemplo, los de Tarski o los de Kripke- toman como base la
formalización de Heyting.
[6] Brouwer reconoce que —(—p)
tiene sentido. Su significado es no contrariedad o “absurdidad de la
absurdidad” pero rechaza que verdad y absurdidad de absurdidad (no
contrariedad) sean equivalentes, i.e.
rechaza que verdad y absurdidad sean alternativas exclusivas.
[7] En consecuencia, algunos de los argumentos y definiciones fundamentales en el análisis y en otras
subdivisiones de la matemática se vuelven insostenibles, y estas ramas piden
ser re-examinadas por completo.
[8] 0.999…=1
[10] El signo ® no denota la implicación material, es un símbolo primitivo de
implicación (véase la interpretación Brouwer-Heyting-Kolmogorov).
[11] La lógica intuicionista sí cambia el significado
de las constantes lógicas. La siguiente explicación fue formulada por Heyting
pero se entiende que está asentada en la matemática intuicionista de Brouwer y
también se apoya en una interpretación anterior de Kolmogorov. Kolmogorov
interpreta las fórmulas como problemas. Así, una solución de P&Q es un par
de soluciones, una para P y la otra para Q, etc. Según van Dalen, la
interpretación en el sentido de prueba
o demostración es la representación
más realista de la actual práctica del intuicionismo. [Aquí P, Q denotan
proposiciones. S es cualquier conjunto dado. La variable x recorre los objetos de S. P(x)
es un predicado sobre x].
Condiciones para la afirmación de
proposiciones compuestas:
Forma Base para afirmarla:
PvQ Al menos una de las dos (P ó Q) ha sido demostrada.
P&Q Ambas proposiciones han sido probadas.
P®Q Existe una construcción C de la cual se ha probado que,
siempre que se aplica C a cualquier prueba posible de
P, el resultado es una prueba de Q.
¬P [11] Se ha probado que toda posible
demostración de P se
transforma en una contradicción. Decir "no P"
es lo mismo que
decir "P implica 1Ø1".
(Ex)P(x) Se ha construido una s [seS], y se ha probado P(s).
(Vx) P(x) Se tiene una prueba de P(s)
para toda seS.[11]
Las
condiciones dadas no justifican Pv¬P, porque, como ya hemos dicho, no hay razón
para creer que, para cualquier proposición P, es posible encontrar una
demostración, o bien de P, o bien de cómo derivar una contradicción de P.
[12] La lógica intuicionista ha sido
generadora del constructivismo en matemáticas y de la lógica lineal
intuicionista con importantes aplicaciones en las ciencias de la computación.
[13] De las Fables of Aleph en Mathematical Intelligencer, 6, 1984 (pp. 77-80). Reproducida por Brouwer en Pi in the Sky.