Conceptografía / Los fundamentos de la aritmética / Otros estudios filosóficos
En la Conceptografía, Frege elaboró un método axiomático que revolucionó la lógica, pues entre sus contribuciones están: el cálculo veritativo funcional de proposiciones, el análisis de la proposición en términos de función y argumento en lugar de sujeto-predicado, la teoría de la cuantificación, un sistema lógico en el cual se obtienen las conclusiones exclusivamente a partir de la forma de las expresiones y una definición lógica de la noción de serie matemática.
Por otro lado, un objeto determina la verdad del enunciado que se refiere a él. Y esto por partida doble, ya que ontológicamente se define la clase de objetos que hay, si son físicos, mentales o abstractos; por el lado epistemológico se determina el grado de validez con que podemos conocerlos y, por ende, hablar de ellos. Estos dos puntos, el ontológico y el epistemológico, son lo que trata de definir Frege en Los fundamentos de la aritmética.
El origen del problema del infinito coincide claramente con el origen de la historia de la filosofía. Las oscuras propuestas de Anaximandro sobre los apeiron, lo indefinido, lo ilimitado, señalan ya una preocupación con respecto a la existencia o no de los límites del universo. Es Aristóteles, sin embargo, quien proporciona el hilo conductor de El problema del infinito: filosofía y matemáticas, pues en su Física y en su tratado Del cielo introdujo tanto una distinción entre infinito potencial e infinito en acto, como ciertas propuestas cosmológicas que crearon muchos problemas durante varios siglos. El problema del infinito se centra en la consideración de las propuestas (anti)aristotélicas, cosmológicas e infinitistas de diversos autores, cuyo interés es mostrar la riqueza temática y conceptual de esta problemática, hasta ahora tan poco tratada en el medio filosófico.
Contenido:
Alejandra Velázquez Zaragoza, Eternidad, duración, infinito y mundo en Nicole de Oresme; José Rafael Martínez, El infinito y la geometría del movimiento según Oresme; Julio César Guevara, El infinito como una necesidad (Giordano Bruno y la expansión del universo); Laura Benítez, Infinitud e ilimitación en René Descartes; John Cottingham, Fuerza, movimiento y causalidad: la crítica de Moore a Descartes; Carmen Silva, Locke y la perspectiva psicológica del problema del infinito; G.A. John Rogers, Las ideas innatas y el infinito: los casos de Locke y de Descartes; Alejandro Herrera Ibáñez, El infinito en Leibniz: Nuevos ensayos II, 17; José Antonio Robles, George Berkeley: sobre la inmensidad de Dios y la divisibilidad al infinito; Luis Felipe Segura, El infinito formalista.
Filosofía de las matemáticas y de la ciencia natural
Este libro muestra cómo debe estructurarse una filosofía de la matemática o de la física desde el enfoque de un científico, y señala los temas que atañen a la matemática o a la física y que a su vez deben y pueden ser objeto de análisis filosófico. El libro fue escrito por el profundo interés matemático de Weyl, quien era además un buen conocedor tanto de la filosofía antigua como de la moderna, especialmente la obra de Dilthey. Se exige del lector una cierta familiaridad con el filosofar matemático o bien con temas físico-matemáticos para seguir el desarrollo de los conceptos y las problemáticas planteadas en el libro. Esta obra es indudablemente contemporánea y posiblemente fundamental para la tendencia que ahora muestra la filosofía que pretende hacerse más concreta y científica.
Originalmente la obra de Kurt Gödel resultó de difícil acceso incluso para el público versado en matemáticas. Al grupo de filósofos interesados en el tema, pero carentes de la formación matemática adecuada, le resultaría casi inaccesible el problema que resuelve el trabajo de Gödel. La necesidad de replantear su propuesta en un lenguaje más asequible, y partiendo de nociones básicas de matemáticas, permite que el espectro de acceso al texto se incremente. Esta presentación de la prueba de Gödel gana en claridad sin perder mucho en rigor, pues a pesar de que el nivel de abstracción es muy bajo en comparación con el del original, necesita un importante ejercicio reflexivo para su cabal comprensión.
Las ideas matemáticas de George Berkeley, obispo de Cloyne
Esta obra permite conocer y comprender mejor el pensamiento de Berkeley, brillante filósofo del siglo XVIII. La mayor parte de este libro se compuso alrededor de las notas inéditas que Berkeley dejó acerca de temas matemáticos, notas donde se muestra el amplio conocimiento que tenía a sus veintidós años. Se presenta aquí el pensamiento matemático de Berkeley, tanto el relativo a la matemática elemental como el que versa sobre su crítica al cálculo; se muestra la relación de estos diferentes aspectos y se señala cómo se conectan los mismos con la tesis básica de su filosofía, esse est percipi. Este trabajo está dividido en dos partes: a) la relacionada con los escritos tempranos de Berkeley, inéditos, y b) la relacionada con su obra crítica publicada. La intención del autor es mostrar la relación que estas partes tienen entre sí. Los temas predominantes son: matemática y filosofía de la matemática.
Esta antología está dirigida a los estudiosos, tanto filósofos como matemáticos, interesados en conocer la polémica sobre los fundamentos del cálculo, desencadenada por la publicación de El analista, donde Berkeley señaló oscuridades en los planteamientos de Newton y de Leibniz. A ella replicaron dos defensores de la posición de Newton, airados porque alguien que no era considerado matemático se atreviese a criticar al eximio autor inglés: James Jurin, un médico reconocido y profesor de matemáticas de la Universidad de Cambridge —que usó como seudónimo en sus escritos el de Philalethes Cantabrigiensis—, y Jacob Walton, profesor irlandés de matemáticas, quien se contentó con seguir las críticas de Jurin en contra de Berkeley. En este volumen se incluyen estos textos y las respuestas de Berkeley, y se añaden dos escritos más a los que Berkeley ya no respondió: uno de John Hanna, quien más bien critica a Walton, y otro del conocido matemático Thomas Bayes, quien formula una crítica a la obra de Berkeley sin el carácter abusivo que muestra la de Jurin.
Contenido:
José Antonio Robles, Introducción general; George Berkeley, De infinitos; George Berkeley, El analista, o discurso dirigido a un matemático infiel; Filaletes Cantabrigense (James Jurin), La geometría no es amiga de la infidelidad, o una defensa de sir Isaac Newton y de los matemáticos británicos en una carta al autor de El analista; J. Walton, Vindicación de los principios de las fluxiones de sir Isaac Newton en contra de las objeciones contenidas en El analista; George Berkeley, Defensa del librepensamiento en matemáticas; J. Walton, Respuesta completa al catecismo del autor de El filósofo minucioso; George Berkeley, Razones para no responder a la Respuesta completa del señor Walton; J. Walton, Apéndice como respuesta a las ‘Razones para no responder a la Respuesta completa del señor Walton’; Filaletes Cantabrigense, El matemático minucioso o el librepensador no es (sólo) un pensador (justo), publicado en una segunda carta al autor de El analista; John Hanna, Algunas observaciones sobre el Apéndice del señor Walton con respecto al movimiento y a la velocidad, que escribió como réplica al autor de El filósofo minucioso; Thomas Bayes, Introducción a la doctrina de las fluxiones y defensa de los matemáticos en contra de las objeciones del autor de El analista, en la medida en que pretenden afectar sus métodos generales de razonamiento.
Este libro no es una exposición de la teoría de los conjuntos, sino más bien un tratamiento de los problemas lógicos que surgen en puntos críticos decisivos en el desarrollo de la teoría de los conjuntos. Dado este propósito, resulta indispensable bosquejar los conceptos y proposiciones fundamentales referentes a conjuntos abstractos. Este programa se lleva esencialmente a cabo en las primeras cinco secciones. Las dos últimas tienen la intención de redondear la teoría matemática, particularmente con respecto a conjuntos ordenados y bien ordenados.
Este libro es una introducción accesible a la lógica matemática y está dirigido al lector que tiene alguna experiencia e interés en el razonamiento matemático y disposición para trabajar a cierto nivel de abstracción y rigor. Las modificaciones hechas en esta segunda edición lo hacen apropiado para los cursos de posgrado o de estudiantes avanzados de licenciatura; además, se han incluido temas relevantes para la ciencia de la computación, como los modelos finitos, y se han agregado más ejemplos y explicaciones a los que ofrecía en su primera edición. Es un texto flexible que, por su estructura y manera de abordar los temas, se presta a que el lector o el profesor lo aproveche según sus necesidades, adecuando el orden de estudio de algunas de sus secciones.
