METODOLOGIA DEDUCTIVA Gonzalo Zubieta Russi

El principal obstáculo en las matemáticas de licenciatura se debe a que ahí las demostraciones se basan en las ideas, pero con escaso manejo del lenguaje. En contraste, el método que aquí se propone se basa en un manejo elaborado del lenguaje, el cual favorece de paso a las ideas. Por fortuna, esto se puede ilustrar a través de los silogismos categóricos, cuya tabla se anexa a continuación:

1ª fig	2ª fig	3ª fig	4ª fig
MB	BM	MB	BM
AM	AM	MA	MA
AB	AB	AB	AB

Barbara	Cesare	Darapti	Bamalip
Celarent	Camestres	Felapton	Camenes
Darii	Festino	Disamis	Dimatis
Ferio	Baroco	Datisi	Fesapo
		Bocardo	Fresiso
		Ferison

Cada nombre latino debajo de una figura describe un silogismo de dicha figura, cuyo modo está en el nombre mismo, donde a significa todo, e ninguno, i alguno, o alguno no.

De los 19 silogismos de esta tabla, se recomienda practicar primero los 10 que aparecen subrayados, después los 4 que se escriben con p, y por último los 5 restantes. Para ejemplificarlos, úsense ternas como las siguientes.

actor	árabe	avaro	apóstol	armador
mago	moro	socio	mártir	marino
poeta	beduino	pobre	beato	buzo

Ejemplos:

Festino: Modo(ninguno, alguno, alguno no) Figura 2ª

Si ning B es M	Ejemplo: Si ningún poeta es mago
y algn A es M	y algún actor es mago
ent algn A no es B	entonces algún actor no es poeta

Demostración:

(1) Ningún poeta es mago Hipótesis

(2) Para todo x, si x es poeta entonces x no es mago (1) Traducción

(3) Algún actor es mago Hipótesis

(4) Existe x talque x es actor y x es mago (3) Traducción

(5) y es actor y y es mago Definición de y, basada en (4)

(6) Si y es poeta entonces y no es mago (2) De lo general

(7) y es mago (5) De la conjunción

(8) Si y es mago entonces y no es poeta (6) Giro

(9) y no es poeta (7) Por (8)

(10) y es actor (5)De la conjunción

(11) y es actor y y no es poeta (10) (9) Descendente

(12) Existe x tal que x es actor y x no es poeta (11) De lo específico

(13) Algún actor no es poeta (12) Traducción

Esta demostración empieza con la hipótesis, que está en los pasos (1) y (3), y termina con la tesis, que es el paso (13). A la derecha de cada paso aparece su registro, que indica el porqué de dicho paso. Al traducir algún, o ningún, recuérdese que algún es existencial y ningún es universal. Para girar una condicional se intercambian la hipótesis y la tesis, y se niegan ambas. En el paso (5) se define y sobre la marcha, lo cual equivale a ponerle nombre a lo que existe según (4).

Antes de pasar al siguiente silogismo, conviene ensayar la demostración anterior, hasta poderla reproducir sin el modelo a la vista. No es un ejercicio de memorización, sino de concentración y comprensión. Si se practica entre varias personas resulta más provechoso y ameno.

Felapton: Modo(ninguno, todo, alguno no) Figura 3ª

Si ning M es B	Ejemplo: Si ningún moro es beduino
y todo M es A	y todo moro es árabe
ent algn A no es B	entonces algún árabe no es beduino

Demostración:

(1) Ningún moro es beduino Hpt

(2) Para todo x, si x es moro entonces x no es beduino (1) Trad

(3) Todo moro es árabe Hpt

(4) Para todo x, si x es moro entonces x es árabe (3) Trad

(5) Existe x tal que x es moro Hpt adicional

(6) y es moro Def de y

(7) Si y es moro entonces y es árabe (4) De lo gral

(8) y es árabe (6) Por (7)

(9) Si y es moro entonces y no es beduino (2) De lo gral

(10) y no es beduino (6) Por (9)

(11) y es árabe y y no es beduino (8) (10) Desc

(12) Existe x tal que x es árabe y x no es beduino (11) De lo esp

(13) Algún árabe no es beduino (12)Trad

En el paso (5) hubo que introducir una hipótesis adicional, sin la cual no se puede proseguir en la demostración. En general, los silogismos que se escriben con p requieren de una hipótesis adicional. Igualmente los silogismos Barbari, Celaront, de la 1ª figura, Cesaro, Camestros de la 2ª figura, y Camenos de la 4ª. Estos silogismos no aparecen en la tabla porque son corolarios de Barbara, Celarent, Cesare, Camestres y Camenes, respectivamente. Corolarios según la versión aristotélica, en la cual de todo A es B se sigue que algún A es B, y de ningún A es B se sigue que algún A no es B.

Celarent: Modo(ninguno, todo, ninguno) Figura 1ª

Si ning M es B	Ejemplo: Si ningún socio es pobre
y todo A es M	y todo avaro es socio
ent nign A es B	entonces ningún avaro es pobre

Demostración:

(1) Ningún socio es pobre Hpt

(2) Para todo x, si x es socio entonces x no es pobre (1) Trad

(3) Todo avaro es socio Hpt

(4) Para todo x, si x es avaro entonces x es socio (3) Trad

(5) Para todo y, si y es avaro entonces y no es pobre:

(a) y es avaro Hpt

(b) Si y es avaro entonces y es socio (4) De lo gral

(c) y es socio (a) Por (b)

(d) Si y es socio entonces y no es pobre (2) De lo gral

(e) y no es pobre (c) Por (d)

(6) Ningún avaro es pobre (5) Trad

Aquí el paso (5) se demuestra sobre la marcha, partiendo de la hipótesis de (5) que es el inciso (a), y llegando a la tesis de (5), que es el inciso (e).

El dominio de todas estas demostraciones, por parte de principiantes de licenciatura, requiere de cinco a seis semanas, con participación activa de los alumnos, en forma de taller. La destreza que se adquiere por este camino no se consigue por otro, salvo en raros casos.

En la práctica, la validez de un silogismo se determina mediante un cálculo mental. Los que saben hacer ese cálculo son los primeros en reconocer la importancia del método deductivo que aquí se aplica.