José Alfredo Amor
Facultad de Ciencias UNAM
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INTRODUCCIÓN
Podemos pensar a la lógica como el estudio del razonamiento correcto. El razonamiento es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos. El razonamiento correcto es el razonamiento en el que las conclusiones se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos.
Este trabajo trata sobre Lógica Matemática y Enseñanza, especialmente sobre algunos elementos del análisis de tipo lógico que es necesario hacer para comprender el lenguaje de la matemática y la estructura lógica de sus demostraciones, a las que consideramos razonamientos correctos.
Una inquietud muy natural en un alumno interesado en un curso de lógica matemática, es la de "aprender a demostrar en matemáticas". Esta inquietud proviene del hecho de que el alumno no tiene claro qué es demostrar, ni por qué hay que demostrar, ni tiene claro el concepto de verdad en matemáticas. Sólo tiene preparación regular en la manipulación mecánica de algunos conceptos matemáticos, pero carece de espíritu analítico. Confunde los desarrollos formalistas mecanicistas y la memorización con el razonamiento correcto. Es precisamente esa falta de espíritu analítico lo que provoca un rechazo al análisis de conceptos, principios y métodos básicos de la matemática, como por ejemplo, el concepto de límite, el principio de inducción matemática y el método de reducción al absurdo.
Lo primero que hay que aclarar ante esta inquietud, es que no es posible "enseñar a demostrar en matemáticas", ya que no hay "recetas" para ello. Sin embargo, se pueden dar elementos suficientes para que uno mismo vaya aprendiéndolo.
Con el objeto de subsanar todas las deficiencias antes mencionadas, lo cual no se hace en ningún curso regular, sino que se efectúa de modo autodidacta a base de aclarar confusiones y rectificar errores, proponemos un curso básico que se puede llamar "Análisis Lógico" o "Introducción a la Lógica Básica". Este curso podría ser un curso propedéutico para licenciaturas relacionadas con matemáticas, como computación, física, actuaría e ingeniería. No es un curso de Lógica Matemática propiamente dicho, pero pretende resolver este problema que tiene el alumno al enfrentarse al lenguaje y técnicas lógico deductivas de la matemática, antes de poder enfrentarse a la matemática misma.
Para explicar más precisamente la intención de este curso, es conveniente presentar sus objetivos por temas. Así pues, los temas de este curso de Análisis Lógico son los siguientes:
TEMAS DEL CURSO
1. El lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico 2. Criterios de verdad
3. Equivalencias lógicas
4. Análisis de argumentos.
5. Métodos de demostración en matemáticas.
6. Heurística.
El lenguaje analítico es un lenguaje de tipo formal aunque no necesariamente simbólico, en el cual se usan los conectivos, las variables, los cuantificadores y la igualdad con sus interpretaciones lógicas clásicas. Además se evita el uso de los nombres genéricos, sustituyéndolos por propiedades y relaciones de cualquier número de argumentos.
1. EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS COMO LENGUAJE ANALÍTICO
Objetivo: Que el alumno aprenda a analizar el lenguaje matemático y lo pueda expresar en un lenguaje analítico. Que se pueda expresar correctamente con él y que sepa traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje analítico y viceversa.
No se pretende formalizar todo el lenguaje coloquial, sino principalmente el lenguaje de contenido preciso o de tipo matemático, en especial las expresiones de las formas: "todo S es P" y "algún S es P"
que se representan como:
(x [S(x) ( P(x)] y (x [S(x) ( P(x)]
respectivamente, donde S(x) simboliza "x es S" y P(x) simboliza " x es P". Estos dos tipos de expresiones son nuevos para el alumno y por eso tiene más dificultad para representarlas, ya que el uso de cuantificadores y variables no es común en el lenguaje coloquial, sin embargo cuando se comprende todo el poder expresivo y a la vez riguroso de ellas se ha dado el primer paso para saber expresarse con él. Ejemplos de traducción de la forma anterior son las cuantificaciones acotadas por conjuntos, que son expresiones de la forma:
(x(A, P(x) y (x(A, P(x)
donde A es un conjunto y P(x) denota una propiedad acerca de x. Las expresiones anteriores son abreviaturas usuales en matemáticas, respectivamente de los enunciados:
(x [x(A ( P(x)] y (x [x(A ( P(x)]
Es común cometer errores en alguno de estos casos al traducir, si bien no hay una regla formal, es bueno recordar que los juicios universales se escriben con implicación y los existenciales con conjunción. Eso no quiere decir que no pueda aparecer un cuantificador universal con conjunción o un existencial con implicación, sino que no es usual. Por ejemplo considérese el caso de las fórmulas (x[G(x)(M(x)] y (x[G(x)(M(x)], si G(x) significa "x es gato" y M(x) significa "x maúlla", entonces la primera fórmula traduce la afirmación "todos los gatos maúllan", mientras que la segunda nos dice algo mucho más fuerte que es "todos son gatos y maúllan". El caso del existencial con una implicación es más complicado pues tiene un significado extraño y poco usual. Hay que hacer notar que aunque el lenguaje analítico o formal es limitado por su carácter tan riguroso, tiene varias ventajas, como son: Evitar la ambigüedad del lenguaje natural.
Ser conciso y riguroso.
Inducir a la concentración en lo que es esencial.
Economía de pensamiento.
Pero aún así, muchas nociones se pueden expresar de varias formas distintas entre sí, pero lógicamente equivalentes, es decir, que ambas significan exactamente lo mismo, para cualquier interpretación. Por ejemplo, expresemos "hay un único número primo par" de tres formas distintas pero lógicamente equivalentes, usando P(x) para simbolizar "x es número primo par":
i) (x [P(x) ( (y (P(y) ( x = y)]
(Hay un individuo tal que: es primo par y todo primo par es él). ii) [(x P(x)] ( (x (y [P(x) ( P(y) ( x = y]
(Hay un individuo que es primo par. Y cualesquiera dos primos pares son el mismo). iii) (x(y [x = y ( P(y)]
(Hay un individuo tal que: es igual a todos los primos pares y sólo a esos).
También hay que hacer notar que algunos enunciados no se pueden traducir con todo su significado intuitivo por el contenido psicológico que tienen algunas palabras, como por ejemplo, la palabra "pero", cuya traducción aceptada es una conjunción; es decir, simplemente como una "y", pero que, sin embargo, significa algo más que "y"; algo como no deseado o no esperado y que se quiere enfatizar. Esto no se recupera al traducirlo al lenguaje analítico. Por ejemplo, "6 es par pero no es múltiplo de 4", se traduce como "6 es par y 6 no es múltiplo de 4". Otro ejemplo es la expresión "a menos que", la cual se traduce simplemente como una disyunción, o sea, como "o", aunque el contenido psicológico induce a muchas personas a traducirla como una disyunción excluyente: "uno u otro pero no ambos". Por ejemplo, "iré de vacaciones a menos que no tenga dinero", se traduce como "iré de vacaciones o no tengo dinero".
El lenguaje analítico es un valioso instrumento para analizar, aclarar y expresar en forma precisa, el significado de enunciados del lenguaje ordinario, ya sea del discurso común o de las ciencias. Este lenguaje permite enunciar lo que queremos, más explícitamente que el lenguaje ordinario, y expresar ideas complejas evitando las ambigüedades que la estructura del lenguaje cotidiano no puede eliminar con facilidad. Pongamos como ejemplo el enunciado: "él la vio a ella con el telescopio". No sabemos si él la vio a ella a través del telescopio o si él la vio a ella y ella llevaba un telescopio. En el lenguaje analítico se puede precisar exactamente lo que se quiere decir de modo que estas ambigüedades desaparecen. Pero estas ventajas tienen un precio: hay que aprender a hacer distinciones poco comunes. Hay que dominar un nuevo lenguaje, y las nuevas formulaciones de enunciados aparentemente simples, son resultado de un trabajo analítico cuidadoso.
A pesar de lo anterior, el uso del lenguaje lógico se ha revelado como útil no sólo en los campos prácticos del discurso, sino ante todo, en la investigación de la lógica, la matemática pura y aplicada y en general en el razonamiento correcto. 0 sea en investigaciones en las cuales hay que registrar distinciones sutiles, y en las que vale la pena conseguir un máximo de explicitación y de rigor en los enunciados y en las demostraciones.
2. CRITERIOS DE VERDAD
Objetivo: Que el alumno conozca los criterios de verdad de los conectivos, los cuantificadores y la igualdad, y sepa analizar a partir de ellos, la verdad o falsedad de cualquier enunciado interpretado, especialmente el caso del condicional.
Es necesario conocer claramente los criterios de verdad para la negación, la disyunción, la conjunción, el condicional, el bicondicional, la cuantificación existencial y la cuantificación universal. Una interpretación para el lenguaje analítico consiste de un conjunto de objetos llamado universo de la interpretación y de relaciones, operaciones y elementos particulares de ese universo de la interpretación. Supongamos que P y Q representan afirmaciones expresadas en el lenguaje analítico y que respecto a una interpretación dada son verdaderos o falsos. Los criterios de verdad son los siguientes:
1. Una negación "no P" denotada ((P), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es falsa respecto a esa interpretación.
2. Una disyunción "P o Q" denotada (P ( Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación o Q es verdadera respecto a esa interpretación. Queda incluida aquí la posibilidad de que ambas, P y Q, sean verdaderas respecto a esa interpretación.
3. Una conjunción "P y Q" denotada (P ( Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación, y Q es verdadera respecto a esa interpretación.
4a. Una condicional "si P entonces Q" denotada (P ( Q), es falsa respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación y Q es falsa respecto a esa interpretación.
4b. Una condicional "si P entonces Q" denotada (P ( Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si no es falsa respecto a esa interpretación; es decir si no sucede que P es verdadera y Q es falsa respecto a esa interpretación.
5. Una bicondicional "P si y sólo si Q" denotada (P ( Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si ambas P y Q son verdaderas respecto a esa interpretación, o bien ambas P y Q son falsas respecto a tal interpretación.
6. Una cuantificación existencial ((x Q) es verdadera respecto a la interpretación dada, si hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que Q es verdadera respecto a esa interpretación y respecto a ese individuo.
7. Una cuantificación universal ((x Q) es verdadera respecto a la interpretación dada, si para todos los individuos en el universo de esa interpretación, Q es verdadera respecto a esa interpretación y respecto a cada uno de ellos.
Es importante tener claro que la verdad o falsedad de un enunciado en una interpretación depende de lo que signifiquen - respecto a la interpretación dada - las relaciones, operaciones y objetos individuales acerca de los cuales "habla" el enunciado. Esto es, la verdad de un enunciado depende de la interpretación y no es en general absoluta, sino relativa a la interpretación. Es decir, un mismo enunciado puede ser verdadero en una interpretación y falso en otra; por ejemplo el enunciado (x (y [x < y ( x = y]
(hay un individuo en la relación " < " con, o es igual a, cualquier individuo), es verdadero respecto a la interpretación que consiste de N (los números naturales) con su relación de orden usual, pues hay uno menor o igual que todos, pero es falso respecto a la interpretación que consiste de Z (los números enteros) con su relación de orden usual, pues no hay uno menor o igual que todos. Es verdadero también respecto a la interpretación que consiste de P(A) (llamado potencia de A, el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A), con la relación "(" de contención propia entre conjuntos, pues hay uno contenido en todos (el vacío).
Un caso especial que es excepción de la relatividad de la verdad explicada en el párrafo anterior, es el caso de los enunciados universalmente verdaderos o universalmente válidos o verdades lógicas, que son verdaderos respecto a cualquier interpretación, debido sólo a su forma, por lo cual se consideran vacíos de contenido, pero son muy útiles en las demostraciones y en los razonamientos correctos, como se verá mas adelante.
Ejemplos de enunciados universalmente válidos son:
i) P(c) ( ( P(c) "c cumple la propiedad P o no la cumple"
ii) [P(x) ( Q(x)] ( [(Q(x)((P(x)] "es el caso que x cumple Q si cumple P, si y sólo si es el caso que x no cumple P si no cumple Q"
iii) [P(c) ( Q(c)] ( ( [P(c) ( (Q(c)] "es el caso que c cumple Q si cumple P, si y sólo si no es el caso que c cumpla P
y no cumpla Q"
iv) [(x(y P(x, y)] ( [(y (x P(x,y)] "si hay alguien en la relación P con todos, entonces para todos hay alquien en la relación P con ellos"
v) P(c) ( (x P(x) "si c cumple la propiedad P, entonces hay alguien que cumple la propiedad P"
vi) Un interesante ejemplo de enunciado universalmente válido es ((x(y [ R(y,x) ( (R(y,y) ]
"No hay en el universo de interpretación un individuo tal que todos los individuos (de ahí) que no están en la relación R consigo mismos, estén en la relación R con él, y sólo esos."
Este enunciado universalmente válido es la explicación lógica a la Paradoja de Russell, ya que interpretando R(y,x) como "y(x" en el universo de los conjuntos, y traduciéndolo al lenguaje natural, tenemos la versión conjuntista de la paradoja: "no hay un conjunto cuyos elementos sean exactamente los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, y sólo esos". Este conjunto no puede existir por una razón que es esta verdad lógica .
Interpretando R(y,x) como "x rasura a y" en el universo de los hombres de Jonesville, tenemos la versión popular del barbero: "no hay un hombre ahí que rasure exactamente a aquellos que no se rasuran a sí mismos, y sólo a esos"
3. EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Objetivo: Que el alumno tenga claro el concepto de equivalencia lógica y sepa negar correctamente cualquier proposición con las equivalencias de la negación, así como saber aplicar otras equivalencias lógicas, como la contrapositiva.
Dos enunciados P y Q son lógicamente equivalentes si y sólo si respecto a cualquier interpretación, ambos P y Q significan exactamente lo mismo. Es decir, para cualquier interpretación ambos P y Q son verdaderos o ambos son falsos. Así pues, sin importar cual sea la interpretación, si P es verdadero entonces Q es verdadero y si Q es verdadero entonces P es verdadero. Esto lo denotamos P ( Q y se lee "P es lógicamente equivalente a Q", o bien "P y Q son lógicamente equivalentes".
Si P y Q son proposiciones cualesquiera, las siguientes son ejemplos de equivalencias lógicas: Leyes de la Negación (( P ( P (P ( Q) ( ((Q ( (P) ((P ( Q) ( ((P ( (Q) (P ( Q) ( (( P ( Q) ((P ( Q) ( ((P ( (Q) (P ( Q) ( ((P ( (Q) ((P ( Q) ( (P ((Q) (x P ( ((x (P ((P ( Q) ( (P ( (Q)( (Q ((P) (x P ( ((x (P ((x P ( (x (P (x (P ( Q) ( ((x P ( (x Q) ( (x P ( (x (P (x (P ( Q) ( (x P ( (x Q (x (P ( Q) ((( (x P ( (x Q
(x (P ( Q) ((( (x P ( (x Q
Es muy común que se nieguen mal la condicional y las cuantificaciones porque no están claros sus criterios de verdad (véase la sección 2). Asimismo, el alumno debe manejar la contrapositiva de una condicional, sin confundirla con la recíproca o inversa; así como otras equivalencias lógicas, sobre todo las que relacionan los cuantificadores con los conectivos, ya que en estos casos es muy común cometer errores que repercuten en la matemática. Por ejemplo, al simbolizar el axioma de extensionalidad en teoría de conjuntos: "dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos": (x (y [ (z (z ( x ( z ( y) ( x = y]
Si el cuantificador (z queda fuera del paréntesis, el sentido cambia: (x (y (z [ (z ( x ( z ( y) ( x = y]
lo cual significa que "dos conjuntos son iguales, si tienen algún elemento en común o si carecen de algún elemento en común"; en este ejemplo para x = {a, b}, a ( b, y = {a}, z = a, tenemos que {a, b} = {a} ! De hecho la segunda fórmula es estrictamente más fuerte que el axioma de extensionalidad; es decir, lo implica lógicamente. Otro ejemplo es el siguiente, al simbolizar el concepto de continuidad de una función f en un intervalo [a,b], en matemáticas : i) f es continua en [a, b] se simboliza como:
(x([a,b] (( ( 0 (( > 0 (y([a,b] ( lx-yl( ( ( l f(x)-f(y) l ( ( )
ii) f es uniformemente continua en [a, b] se simboliza como:
(( ( 0 (( > 0 (x([a,b] (y([a,b] ( lx-yl( ( ( l f(x)-f(y) l ( ( )
La diferencia entre i) y ii) es sólo "un cambio de lugar" del cuantificador acotado (x([a, b], sin embargo, (ii) implica lógicamente a (i), pero no a la inversa.
Que un enunciado A implica lógicamente a un enunciado B, significa que para cualquier interpretación, en el caso de que el enunciado A sea verdadero, entonces el enunciado B tiene que ser necesariamente verdadero. Obsérvese que si A ( B entonces A implica lógicamente a B y B implica lógicamente a A. Otra manera de caracterizar que A implica lógicamente a B, es afirmando que (A ( B) es un enunciado universalmente válido.
4. ANÁLISIS DE ARGUMENTOS
Objetivo: Que el alumno sepa qué es un argumento y sepa analizar argumentos, para determinar si un argumento dado es correcto o no, independientemente de la verdad o falsedad de la conclusión y de las premisas; es decir, analizar el argumento por su forma lógica y no por su contenido.
Un argumento es un conjunto finito y ordenado de afirmaciones de las cuales se dice que la última, llamada conclusión, se sigue de las anteriores, llamadas premisas.
Un argumento es correcto si y sólo si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas; esto quiere decir que para cada interpretación del lenguaje respecto a la cual todas las premisas son verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera. Un argumento es correcto o incorrecto, independientemente de sus interpretaciones. Dicho de otra manera, es correcto si no hay interpretación alguna para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Esta es la definición que hace precisa la idea de razonamiento correcto dada al principio de este trabajo.
Esto es sumamente importante en matemáticas, ya que las pruebas en matemáticas son argumentos o sucesiones de argumentos, y estos deben ser argumentos correctos. Resulta pues obvia la importancia de saber si un argumento dado es correcto o no lo es. Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos: correctos con conclusión verdadera, correctos con conclusión falsa, incorrectos con conclusión verdadera e incorrectos con conclusión falsa. (Aquí verdadera o falsa es respecto a la interpretación usual o intencional.)
Obsérvese que en un argumento correcto, si las premisas son verdaderas con alguna interpretación, la conclusión será necesariamente verdadera con esa interpretación. Por lo tanto, en un argumento correcto, si la conclusión es falsa de acuerdo con alguna interpretación, entonces al menos una de las premisas debe ser falsa con esa interpretación.
Si el argumento es incorrecto lo único que podemos decir es que hay una interpretación para la cual las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, pero con otras interpretaciones puede suceder cualquiera otra posibilidad. Ejemplos de lo anterior, con la interpretación intencional para verdadero o falso, son los siguientes:
A) ARGUMENTO CORRECTO CON C) ARGUMENTO INCORRECTO CONCONCLUSIÓN VERDADERA CON CONCLUSIÓN VERDADERA
Todo múltiplo de 6 es Todo número con exactamente múltiplo de 3. dos divisores es primo.
12 es múltiplo de 6. 4 no tiene exactamente dos (12 es múltiplo de 3. divisores. (Tiene tres: 1,2,4) (4 no es primo.
B) ARGUMENTO CORRECTO D) ARGUMENTO INCORRECTO CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN FALSA
Todo múltiplo de 4 es par. Todo múltiplo de 6 es par. 5 es múltiplo de 4. 8 no es múltiplo de 6.
( 5 es par. (8 no es par.
Debe ser claro que los dos ejemplos de argumentos incorrectos C) y D) tienen la misma forma y que el hecho de que la conclusión pueda ser verdadera (con la interpretación intencional) es una contingencia; es decir, se debe a la casualidad si únicamente consideramos las premisas dadas.
Debe ser claro también que en el ejemplo B) de argumento correcto con conclusión falsa, por el hecho de ser un argumento correcto, necesariamente alguna de las premisas debe de ser falsa con la interpretación intencional, que en estos casos es la interpretación de la aritmética de los números naturales.
Ahora bien, ¿cómo podemos demostrar que un argumento incorrecto es efectivamente incorrecto?. La manera de hacerlo es dando una interpretación conveniente o adecuada a los términos y predicados involucrados, de modo que resulte (respecto a esa interpretación) que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Esto ocurre en el argumento D) con la interpretación usual de la aritmética tal como está.
Para demostrar que el argumento C) es incorrecto, la interpretación intencional no sirve pues respecto a ella, tanto las premisas como la conclusión son verdaderas. Daremos otra interpretación con la misma forma lógica respecto a la cual las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa; una interpretación así para C) es la siguiente:
Todo polinomio con exactamente
dos raíces es cuadrático.
X2-4x+4 no tiene exactamente dos
raíces. (Su única raíz (doble) es 2)
(X2 - 4x + 4 no es cuadrático.
La manera directa de demostrar que un argumento es correcto consiste en suponer verdaderas a todas las premisas (con respecto a alguna interpretación), sin tomar en cuenta la interpretación intencional, ni ninguna interpretación en particular, y a partir de eso, usando únicamente los criterios de verdad, hacer ver que la conclusión es necesariamente verdadera; independientemente de cual fuera la interpretación. En algunos casos la manera directa no es realizable, por lo que hay que hacerlo de modo indirecto, por reducción al absurdo, es decir suponiendo que hubiera una interpretación respecto a la cual todas las premisas fueran verdaderas y la conclusión fuera falsa, y a partir de ahí llegar a una contradicción. Terminamos esta sección con cuatro ejemplos de argumentos de la misma forma de los anteriores pero con interpretación intencional distinta. Para mostrar que C) es incorrecto basta con cambiar "ave" por "animal".
A) ARGUMENTO CORRECTO CON C) ARGUMENTO INCORRECTO CONCLUSIÓN VERDADERA CON CONCLUSIÓN VERDADERA Todo hombre es mortal. Todo pingüino es ave. Sócrates es hombre. Mi perro no es pingüino. (Sócrates es mortal ( Mi perro no es ave.
B) ARGUMENTO CORRECTO D) ARGUMETO INCORRECTO CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN FALSA Toda ave es voladora. Todo pez es nadador.
El avestruz es ave. El delfín no es pez (es mamífero). ( El avestruz es voladora. (El delfín no es nadador.
Una última observación: si en un argumento, la conclusión es falsa con alguna interpretación, sólo podemos concluir que, o bien el argumento es incorrecto, o bien alguna de las premisas es falsa.
5. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS
Objetivo: Que el alumno sepa qué es demostrar en matemáticas y conozca diferentes métodos de demostración: directo, por contrapositiva, por casos, por reducción al absurdo, y otros esquemas de demostración, que deben ser argumentos correctos.
En este punto es muy importante discutir acerca de ¿por qué es necesario demostrar en matemáticas? Esto nos lleva a establecer la distinción entre "mostrar" y "demostrar". Hay pruebas de afirmaciones que realmente son "mostraciones" en el sentido de sólo mostrar, para que se vea "con los ojos", que la afirmación es verdadera. Tal puede ser el caso de una mostración visual del Teorema de Pitágoras; pero hay razones que justifican la necesidad de demostrar, en el sentido de apartarse de la evidencia visual, en el caso de que ésta no sea posible o no sea clara, o bien pueda llevar a confusiones. Esto último se puede ejemplificar con "pruebas" falaces que usan la evidencia visual de una figura, de modo incorrecto.
Así pues, el alumno deberá tener conciencia de lo que sí es y de lo que no es demostrar, así como de cuándo una demostración está terminada. También es muy importante aclarar la diferencia entre el proceso de descubrimiento de una demostración (heurística) y la formalización y organización lógico deductiva de ella, lo cual constituye la demostración propiamente dicha.
Entre los métodos de demostración indirectos, veremos los siguientes: por contrapositiva, por casos y por reducción al absurdo. Veamos brevemente cada uno de ellos:
Por contrapositiva. Es para afirmaciones de la forma "si A entonces B" y consiste en suponer "no B" y demostrar con esta suposición extra, que "no A". Así pues, lo que se hace es probar: "si no B entonces no A", que es lógicamente equivalente a la afirmación original; es decir, el enunciado (A ( B) ( ((B ( (A) es universalmente válido. Este es un ejemplo de la utilidad de las verdades lógicas.
2) Por casos. Para una afirmación A, cuando hay una serie de afirmaciones (los casos) C1, C2, ... , Cn, con n > 2, tales que agotan todas las posibilidades, o sea que necesariamente se cumple una de ellas, es decir el enunciado C1(C2( ... (Cn es universalmente válido y además se prueba que: si C1 entonces A, si C2 entonces A, ..., si Cn entonces A. Puede entonces concluirse en forma correcta que A, ya que se probó el enunciado: (C1(C2( ... (Cn ) ( [(C1 ( A) ( (C2 ( A) ( . . . ( (Cn ( A)] y resulta que el enunciado:
[(C1(C2( ... (Cn ) ( [(C1 ( A) ( (C2 ( A) ( . . . ( (Cn ( A)]] ( A es universalmente válido.
Por reducción al absurdo. Para probar una afirmación A, se supone no A y se procede de alguna de las tres maneras alternativas siguientes: Con esta suposición extra no A se prueba una afirmación no B contradictoria con otra afirmación B ya demostrada anteriormente. Con la suposición extra no A se prueba una afirmación C y se prueba otra afirmación no C. Con la suposición extra no A se prueba A.
Entonces en cada caso podemos concluir correctamente que A. Esto se debe para cada caso a que las tres afirmaciones siguientes son universalmente válidas:
i) [((A ( ( B) ( B ] ( A
ii) [((A (C) ( ((A ( (C)] ( A o bien [(A ( (C ( (C)] ( A iii) [(A(A](A
Hay que comentar que si bien la definición original de reducción al absurdo es: "prueba de la falsedad de un enunciado dado, al obtener de él una consecuencia lógica absurda", lo que simbolizamos como [A ( (C ( (C)] ( (A, nosotros lo usamos en forma positiva para probar la verdad de un enunciado A, usando la verdad lógica conocida como principio de tercero excluido (A((A), para inferir correctamente A a partir de ((A.
6. HEURÍSTICA
Objetivo: Que el alumno conozca algunas ideas acerca del proceso de descubrimiento o heurística.
Generalmente el proceso de descubrimiento de una demostración es exactamente al revés del proceso lógico deductivo para presentarla como una demostración organizada, terminada y rigurosa. Ejemplificaremos esto especialmente para la prueba directa de enunciados condicionales, o sea afirmaciones de la forma "si A entonces B". Se sugiere construir un "camino" lógico deductivo desde A hasta B, suponiendo A, pero empezando desde B!. Así pues, los pasos del proceso heurístico serían los siguientes:
1o. Suponer A, analizar su significado y contenido, y tenerlo presente para usarlo cuando se considere conveniente.
2o. Analizar B, su significado y contenido. Es a lo que queremos llegar.
3o. Reducir el problema a tener alguna afirmación B1, de modo que B sea consecuencia correcta (tal vez más fácil de descubrir) a partir de B1.
4o. Posiblemente con A obtengo B1, y entonces por el paso 3 obtengo B y termino. Si no:
5o. Reducir el problema a tener B2 de modo que B1 sea consecuencia correcta de B2.
6o. Posiblemente con A obtengo B2 y entonces por el paso 5 obtengo B1 y por el 3 obtengo B y termino. Si no:
7o. Reducir......, etc.
En algún paso, si el problema fue convenientemente reducido, con A obtengo Bn y entonces tengo construido el camino completo y se presenta la demostración en orden lógico deductivo y no heurístico:
A, Bn, Bn-1, ..., B2, B1, B.
Otra idea heurística para resolver problemas y que es muy útil en matemáticas, es la idea de representación de un área de conocimiento en otra: para un problema que en su área no es claro o que no se ha podido resolver, el hecho de representarlo en otra área, con relaciones estructurales análogas, puede ser la llave de su solución. Así, en matemáticas muchos problemas revolucionarios han sido los no bien definidos en su área; aquellos que ha convenido representarlos en otra área. Un ejemplo histórico de este estilo fue la creación de la Geometría Analítica, por Descartes, al representar la geometría en el álgebra y así poder trabajar las curvas algebraicamente. Un ejemplo de este siglo fue el genial proceso de Godel de representar la metateoría de la aritmética formal en la aritmética y así poder representar por medio de enunciados formales, propiedades aritméticas que se refieren a propiedades metateóricas de esos mismos enunciados.
CONCLUSIONES
Creemos que si se realizan estos objetivos, encausarán al alumno por el camino analítico y le darán una disciplina y seguridad en su trabajo, que le permitirá a su vez tener una actitud analítica y crítica ante las matemáticas y ante cualquier razonamiento que pretenda calificarse de razonamiento correcto con el sentido dado aquí, lo cual le servirá en cualquier área de matemáticas puras y aplicadas, computación o filosofía.
Esta presentación no ha pretendido explicar todo lo que sería un curso de "Análisis Lógico", sino dar sólo algunas ideas generales sobre el mismo. Creemos que este material es de suma importancia para la formación de los alumnos de nivel medio superior y de los primeros años de licenciaturas qué estén relacionadas con matemáticas y con el razonamiento correcto.
BIBLIOGRAFÍA
Aunque la bibliografía sobre el tema tratado es relativamente escasa, y muchas obras tocan sólo parte de los temas, incluyo la siguiente:
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[3] DeLong, H. A profíle of mathematical logic, Addison Wesley, 1970.
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[5] Lemmon, E. J. Beginning Logic, Chapman & Hall, 1971.
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[7] Natíonal Council of Teachers of Mathematics, Sugerencias para resolver problemas, Temas de Matemáticas, No.17, Editorial Trillas, 1970.
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[10] Solow, D. Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas, Limusa, 1987.
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[15] Zubieta, G. Taller de Lógica Matemática (Análisis Lógico), Mc Graw-Hill, 1993.
Número primo es un entero positivo distinto de 1, cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. Ejemplos: 2,3,5,7,11,13... Otra menera de decirlo es: entero positivo que tiene exactamente dos divisores (ni más ni menos). Un desarrollo más amplio sobre este punto de vista puede verse en [2] de la bibliografía. Intuitivamente una función f es continua en un punto x si para puntos muy cercanos a x, su imagen bajo f está muy cercana a la imagen de x bajo f. Reductio ad absurdum.