LA RIVALIDAD EN
LÓGICA
RAYMUNDO MORADO
INSTITUTO DE
INVESTIGACIONES FILOSFÓICAS
UNIVERSIDAD
NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Aunque vivimos todavía en la prehistoria de la
civilización, la lógica nos ha dado ya muestra del enorme poder que podría alcanzar.
No sólo ha asegurado sus logros mediante una fructífera alianza con la
matemática, sino que también ha producido un explosivo desarrollo de la metalógica
y de la filosofía de la lógica, que permite plantear con insospechada claridad
muchos problemas. Gozamos de una ciencia en plena expansión, donde los
descubrimientos y las nuevas tendencias surgen cada vez con velocidad mayor. En
la segunda mitad de este siglo han aparecido muchos y asombrosos sistemas: lógicas
deónticas, paraconsistentes, libres, relevantes, erotéticas, de conjuntos
borrosos, cuánticas, sin contar con los últimos desarrollos de viejos temas,
como las lógicas modales, intuicionistas, n-valentes, dialécticas, etcétera.
Algunos
de tales sistemas han sido ofrecidos, no como felices extensiones de la lógica
estándar, sino como rivales incompatibles con ella, que obligan a una elección.
Son distintas concepciones de cómo hacer lógica y de qué principios son los que
deben regular nuestro quehacer. Este trabajo intenta ayudar en la tarea de deslindar
si realmente hay oposición entre las distintas lógicas y en qué consiste
exactamente esta oposición.
La meta
a largo plazo de esta investigación es la creación de un mapa conceptual que
permita ubicar a cada lógica en una región especial de la Ciencia Lógica,
explicitando lo más posible sus relaciones y campos de aplicación. Difícilmente
se podría exagerar la importancia de un “mapa” de este tipo. Los esfuerzos lógicos
no deben perderse en polémicas innecesarias por falta de una visión de
conjunto. Y con el rápido crecimiento de sistemas no clásicos (ya contamos con
un Journal of Non-Classical Logic) es
importante poder apreciar qué es lo que cada sistema nos puede ofrecer.
En esta
labor de sistematización y aprovechamiento racional de los últimos avances en lógica,
existe, sin embargo, una piedra de tropiezo: la rivalidad. Sobre este punto de
conflicto se centra este ensayo, esperando arrojar un poco de luz en una
cuestión demasiado compleja y cambiante para ser resuelta por unas cuantas
personas. Se necesitan más filósofos de la lógica que saneen el ambiente y
clarifiquen el panorama. Aquí apenas se inicia el tratamiento sugiriendo una
posible via de integración para todo sistema lógico: respetar los dominios de
aplicación.
Confieso
dos optimismos: creo en las virtudes del diálogo racional, al menos cuando se
da entre entes preponderantemente racionales, para disolver conflictos; y creo
que los lógicos son entes preponderantemente racionales cuando discuten sobre
lógica. Por ello creo también que eventualmente llegaremos a ubicar a cada
lógica rival y a cada acusación contra la lógica clásica en su justa
apreciación. Estas páginas son un pequeño, tambaleante paso en esa dirección.
1. Rivalidad y Complementariedad
Entenderé por la expresión “una lógica X” algún
conjunto en particular que comprehenda un sistema lógico (entiendo que éste
incluye tanto una sintaxis como una semántica formal), una metalógica en la que
se ubican los metateoremas sobre el sistema, y una filosofía de la lógica que
trate de esclarecer la trama de relaciones entre el sistema lógico, el pensamiento
y la realidad.[1]
Entiendo
por “lógica clásica” a la lógica generalmente aceptada en la tradición
Frege-Rusell. (Las variantes notacionales de sistemas lógicos no representan
sistemas diferentes.)
Como todo
estudiante de lógica pronto descubre, la lógica clásica (LC) cuenta con varias
carencias. Por ejemplo, en el lenguaje objeto de LC no hay un equivalente a la
relación de deducibilidad; con lo más que contamos es el aspecto extensional de
tal relación, representado mediante el condicional material. Tenemos el signo “⊦”,
pero es metateórico y se encuentra en el metalenguaje. Si olvidamos esta
carencia e intentamos considerar que el condicional material tiene la carga
intensional que usualmente encontramos en el condicional cotidiano, surgen las llamadas
paradojas de la implicación material. Un cálculo que también admita la
representación de la noción de deducibiiidad dentro del propio lenguaje objeto
se puede ofrecer como complementario de LC. Tal sistema puede ser visto como
una ampliación. Ejemplos de este tipo de sistema son los sistemas S4 y S5
de Lewis y el sistema T de Feys (M de von Wright). Razones paralelas
pueden llevar a la creación de lógicas deónticas, epistémicas, temporales, etcétera.
Los sistemas
propuestos como complementos nacen de
que
1) Se considera incompleta
a LC;
2) Se cree que la
propuesta de cambio es compatible con LC;
3) Se espera por
ella que se utilice el nuevo sistema junto
con LC.[2]
Un sistema es,
pues, complementario de LC cuando es compatible con ella y aborda temas que LC
deja sin tratamiento completo.
Sin embargo, no
todos los problemas de LC han sido considerados como carencias: algunos han
sido considerados como errores. Algunos matemáticos, por ejemplo, rechazan una
teoría de la correspondencia para la verdad de los enunciados matemáticos, pues
creen que tal teoría en ese campo sería una injustificada hipóstasis de
entidades metafísicas. Si un número no puede ser construido (o no ha sido
construido) entonces no tiene sentido decir que existe; pero si no se puede
demostrar que no puede ser construido, entonces no tiene sentido decir que no
existe. Por esto, se dice que al menos en matemáticas el principio de tercio excluso
falla. De aquí los sistemas intuicionistas de Heyting y Johanssen. Razones
paralelas han llevado a la creación de lógicas cuánticas, minimales,
presuposicionales, polivalentes, libres, etcétera.
Así, los sistemas propuestos como rivales nacen de que
1) Se
considera equivocada a LC;
2) Se cree que la
propuesta de cambio es incompatible con LC;
3) Se espera por ella que el nuevo
sistema reemplace a LC.[3]
Un sistema es rival de LC cuando se inscribe
en una lógica que considera como falso(s) algún(os) teorema(s) y/o regla(s) de
inferencia de LC y, por lo tanto, lo rechaza en su interpretación usual.
¿Habrá
una característica formal que permita reconocer si un sistema
1) Más
fórmulas y más teoremas a reglas de inferencia (y todos los nuevos teoremas a
reglas de inferencia contienen esencialmente figuraciones del nuevo
vocabulario). Estos sistemas son extensiones
(conservativas). Ejemplos de extensiones de LC: T, S4, etcétera.
2) Mismas
fórmulas pero distinto conjunto de teoremas o reglas de inferencia. Estos
sistemas son divergentes. Ejemplos de
sistemas divergentes de LC: Ł3, Łm4,
etcétera.
3) Más
fórmulas pero distinto conjunto de teoremas (incluso teoremas que contienen sólo
vocabulario común)[4]. Estos
sistemas son cuasi-divergentes.
Ejemplo de sistema cuasi-divergente de LC: la lógica trivalente de Reichenbach.
Ya que
es obvio que si un sistema es cuasi-divergente entonces contiene un subsistema
divergente, podemos quedarnos tan sólo con las nociones de extensión y
divergencia entre sistemas para nuestro análisis. Una vez identificado un sistema
de lógica relevante, digamos que como cuasi-divergente, en qué hemos avanzado
en la investigación de si es o no rival para LC? Mucho habríamos adelantado si
pudiéramos asimilar rivalidad a divergencia y complementariedad a extensión.
Pero un contraejemplo muestra que no debemos asimilar rivalidad a divergencia:
el sistema de deducción natural de Copi (1954) (PP. 40-46) contenía las mismas
fórmulas que el de Copi (1967) (pp. 54-58), pero no el mismo conjunto de
teoremas ni de reglas de inferencia. Según las definiciones de Haack, el primer
sistema era divergente del segundo, que era LC. Pero, como es conocido, el primer
sistema no era un rival sino un fragmento del segundo. Puede haber divergencia
sin rivalidad.[5]
La
rivalidad, como Haack nota, no puede darse a un nivel puramente formal, ni
reconocerse con una simple inspección del conjunto de teoremas. Tampoco podemos
decir que una lógica sea una rival de LC sólo porque se ofrezca como tal o porque intente
reemplazar a LC. Se dará rivalidad entre dos lógicas si y sólo si lo que una
considera verdad lógica o regla válida de inferencia la otra sostiene que no lo
es. En palabras
de Quine, “it is a question rather of outright
rejection of part of our logic as not true
at all”. [6] (No exijo que el sistema
rival pueda reemplazar a LC porque esto sería, como dice Wolf (1978), suponer que
LC sale ilesa y no tiene verdadero rival si la otra lógica no puede ofrecer
nada mejor.)
En el ejemplo
de Copi puede verse cómo la rivalidad no es causa necesaria de divergencia.
Tampoco es una causa suficiente, pues existe la posibilidad de que tengamos un
mismo conjunto de teoremas y reglas a nivel sintáctico pero que éstas sean interpretadas
de manera radicalmente distinta. “This is not perhaps
surprising since rivalry is defined in terms of the pragmatic notion of use,
and deviance is a purely formal consideration about the theoremhood of certain
strings of symbols, etcetera.”[7] Finalmente, la
complementariedad normalmente producirá una extensión; pero una reinterpretación
metateórica de los teoremas o reglas de transformación es suficiente para extender
el uso de LC a dominios que no son los habituales. Y, a su vez, la extensión no
tiene a la complementariedad como causa necesaria: podemos pensar en un sistema
con distintas conectivas proposicionales que otro (y por lo tanto con distintas
fórmulas) pero siendo éstas interdefinibles con las de aquél (por ejemplo, en
vez de negación disyunción, tener negación, disyunción y conjunción).
(R. Orayen
me ha sugerido la distinción entre una extensión propia (semántica) y una
impropia (sintáctica solamente). Como criterio formal propone: Si tengo dos
sistemas lógicos L y L΄, y hay para L΄ un meta teorema que autoriza
en L΄ la substitución, gracias a una relación de equivalencia que sea
teorema en L΄, entonces si para cada operador primitivo nuevo (respecto a
L) de L΄ existe por lo menos un teorema en L΄ que enuncia la relación
de equivalencia mencionada entre cada fórmula con el nuevo operador y otra
donde sólo aparece vocabulario de L, entonces
L΄es una extensión impropia de L. Este criterio permite distinguir entre
extensiones filosóficamente banales (impropias) y extensiones filosóficamente
interesantes (propias). Por ejemplo, el S4
de Lewis no da tan sólo un nuevo
primitivo: ofrece una nueva noción no recuperable en términos de los primitivos
de LC, y por ello es más que una mera extensión sintáctica.)
2. Cambio de Lógica, Cambio de Tema
En
su famoso capítulo sobre deviant logics,
Quine cuestiona la posibilidad misma de una rivalidad: “It would seem that such an idea of deviation in logic is absurd on the
face of it... What higher tribunal could
abrogate the logic of truth functions or of quantification?”[8]
Supongamos que
alguien aceptara en algunas ocasiones una conjunción de la forma p &
–p como verdadera, o que supusiera
que una contradicción no implica cualquier oración. Quine diría que en ese caso
el signo “–” no está en lugar de lo que conocemos como negación, pues:
a) no
se ajusta a las reglas de nuestra negación, y b) la esencia de la negación consiste en el obedecer tales reglas.
Esto
recuerda la estrategia usada por Hans Hahn:
Si alguien se
negara a admitir la deducción lógica, no por ello manifestaría una opinión
diferente de la mía acerca del comportamiento de las cosas, sino que se negaría
a emplear las mismas reglas que yo uso para hablar de las cosas. Yo no podría
convencerlo, pero tendría que negarme a continuar la conversación así como me negaría
a jugar al ajedrez con quien insistiera en mover el alfil ortogonalmente. (En
Ayer (1978), p. 162.)
Esta
estrategia se remonta al libro IV de la Metafísica,
donde Aristóteles sostiene que quien se atreva a negar el principio de no
contradicción destruye la posibilidad del lenguaje mismo, y queda reducido a la
calidad de “planta” con la que ninguna conversación es posible; tan indispensable
a todo razonamiento es este principio que ni siquiera es posible demostrarlo.
Si
alguien se rehusara a usar la negación de acuerdo con las reglas de uso de
ella, Se estaría negando a jugar el juego del lenguaje. Por esto, nadie que use
el lenguaje correctamente puede realmente negar las leyes de la lógica. Quine escribe: “Alternative logics are inseparable
practically from mere change in usage
of logical words.. . For, there can be no stronger evidence of a change in
usage than the repudiation of what had been obvious.”[9]
Y, cuatro años después: “Here, evidently,
is the deviant logician’s
predicament: when he tries to deny the doctrine he onlychanges the subject.”[10]
Algo de verdad
hay en los argumentos de Quine. Veamos un caso:
Newton
C. A. da Costa propone la construcción de una lógica para teorías
inconsistentes pero no triviales. Una fuerte razón para desear una lógica así se
encuentra en las palabras de Wimsatt:
Formal models of
theoretical structures characteristically start with the assumption that the
structures contain no inconsistencies. As normative ideal, this is fine, but as
a description of real scientific theories, it is inadequate. Most or all
scientific theories with which I am familiar contain paradoxes and
inconsistencies either between theoretical assumptions or between assumptions
and data in some combination. (Usually these could be resolved if one knew
which of several eminently plausible assumptions to give up, but each appears
to have strong support, so they – and the inconsistencies remain.)[11]
Parece que una
lógica paraconsistente seria útil en el análisis de teorías similares a muchas
de las científicas, que, sin ser triviales, contienen inconsistencias. De
alguna manera estos científicos bloquean la deducción de todas las consecuencias
de sus afirmaciones. Pero si se ha de rechazar que de una contradicción se
sigue todo para evitar trivialidad, debemos preguntarnos:
If the axioms
and rules governing negation (amongst other logical laws) are changed to
originate a paraconsistent logic, will the resulting negation still be a real
negation? The question here is similar to the one of knowing whether the
straight lines of a particular non-Euclidean geometry may actually be accepted
as straight lines.[12]
La respuesta de
da Costa es que la nueva negación tiene derecho a ser llamada así tan sólo por lo que Wittgenstein llamaba Familienähnlichkeit. Creo que la conclusión
que podemos obtener es que la critica de da Costa a LC no es la negación de sus
leyes sino el cuestionamiento de su aplicación en ciertas áreas. ¿Es la negación
clásica una buena traducción de la negación que se usa en la mayoria de las
ciencias, teorías que sin ser triviales son inconsistentes? Este factor de
adecuación entre la lógica y su campo de aplicación, factor que rebasa el
sistema mismo, es el importante al caracterizar la rivalidad; pero sobre esta idea
regresaremos después.
De
momento retomaremos la sugerencia de da Costa en el sentido de que hay una “family resemblance”. Según Putnam (1962)
existe un core meaning de las
conectivas lógicas que permanece inalterado aunque neguemos principios como el de
tercio excluso. Este core meaning
permite, por ejemplo, ofrecer la conjunción intuicionista como mejor traducción
formal que a conjunción clásica para ciertas oraciones. Pero inevitablemente
tal tipo de propuesta ya no se encuentra al nivel del lenguaje objeto. Esto
muestra que la discrepancia entre lógicas, si es que la hay, no podrá ser al
nivel de las reglas para las conectivas. El conflicto está en la adecuación de un
conjunto dado de reglas para interpretar un discurso extralógico. Distintos
conjuntos de reglas deben referirse a distintas conectivas, pues lo que
caracteriza a una conectiva no es algo “trascendente” desligado del conjunto
mismo de reglas de uso. Por lo tanto, ia negación clásica, la intuicionista, la
trivalente y la relevante, no son la misma negación y, cuando, por ejemplo,
Bochvar niega el principio de tercio excluso lo niega para una conectiva que ya
no es la negación clásica.
Hasta
aquí creo que Quine tiene razón: no puede haber divergencia sobre el uso
correcto de las conectivas sin que ello signifique entender en otro sentido
tales conectivas, hablar de conectivas homónimas pero diferentes. Ni Bochvar ni
nadie puede, sensatamente, decir que el principio de tercio excluso no es
válido para la negación clásica.
3. La
Rivalidad como Fenómeno Metateórico. Los Campos de Aplicación.
Hasta aquí con Quine. Sin embargo, Putnam tiene razón
al señalar que si bien hay una redefinición de las conectivas lógicas, esto no
agota lo que es la rivalidad entre teorías lógicas. El hecho de que el lógico
rival no pueda negar al nivel del lenguaje objeto mismo, nada de lo que LC dice,
no indica que no haya rivalidad, como parece pensar Quine.
Si la
rivalidad se da, debe ser a un nivel metalingüístico; como dice
Haack,
“any formal test needs to be supplemented
by considerations of meaning”.[13]
Putnam comprendió esto al localizar la rivalidad en el hecho de que la
propuesta de una lógica rival “as opposed
to ‘classical’ logic amounts to systematically forswearing certain classically
valid inferences”;[14]
podemos mencionar finalmente a este respecto la propuesta de Priest de que aun cuando hubiese cambio de significado, esto no
impediría la rivalidad:
After all,
relativistic and classical mechanics are certainly rivals and as many people
has pointed out (e. g., Kuhn, Feyerabend) a term such as ‘mass’ seems to have
different meanings in these theories.’[15]
Ahora
bien, ¿qué hace que las lógicas S4 y S5 de Lewis no sean rivales de LC?
Creo
que es el hecho de que LC reconoció que a nivel del lenguaje objeto no tenía
capacidad para parafrasear ciertas nociones lógicas intensionales. Aceptada la
limitación, LC pudo ser incorporada en una teoría mayor en la cual ciertos
dominios lógicos podían ser ya tratados. No hubo que rivalizar al notarse que se
proponía otra noción de implicación.
Pero si LC se hubiera considerado suficiente para tratar esos casos del “sólo
si” ya no filónico sino diodórico,[16]
entonces los defensores de los sistemas S
hubieran tenido que atacar a LC como incorrecta y ofrecer un sustituto de ella.
Pero, curiosamente, el sustituto recuperaría a LC dentro de sus limites de
aplicación verdaderos. El problema, planteado desde la perspectiva que a mí me
parece más provechosa a largo plazo, no es si LC es correcta o incorrecta, sino
hasta qué punto, en qué dominio de aplicación, es correcta, y qué nociones no
alcanza a manejar requiriendo por ello de sistemas auxiliares.
Si un
lógico clásico cree que puede manejar nociones extrañas a su sistema mediante
paráfrasis, lo que obtendrá será muy probablemente una serie de absurdos e
incorrecciones. Un ejemplo es querer formalizar en LC la frase: “Si no es
cierto que si llueve hace frío, entonces, si hace frío llueve”, como ~(p ⊃ q) ⊃ (q ⊃ p), para que se convierta en una verdad lógica. Sin un
operador intensional LC no alcanza para este tipo de oraciones y el lógico
clásico (un mal lógico a mi parecer) que crea que su sistema puramente
extensional puede analizar esta oración y determinar si es o no una verdad
lógica merece la rivalidad de todo lógico decente. Pero si acepta sus
limitaciones, lo que otros lógicos afirmen con verdad sólo puede suplementar sus conocimientos lógicos.
Resumiendo:
mi posición es que si LC pretende manejar algo que va más allá de sus
capacidades, entonces está justificada la rivalidad. Pero en el momento en que
modere sus pretensiones, la lógica rival puede quedar colocada, si tiene razón,
en una situación de complementariedad. (Existe también la posibilidad de que lo
que LC afirma sea correcto y que alguna crítica esté equivocada; éste no es un
caso tan interesante de rivalidad, por no ofrecer tantas perspectivas de
progreso. Mi análisis se dirige sobre todo a sistemas que tienen algo de razón
en sus críticas a LC.)
Mi
tesis, no demostrada sino sugerida (con todo lujo de simplificaciones, si no es
que simplismos), es que toda rivalidad con LC se puede reinterpretar como
complementariedad: lo que el rival dice es que LC no se aplica, como tal vez pretenden
algunos lógicos clásicos, en determinadas areas. Si LC admite la restricción,
basta considerar que el rival formaliza una relación nueva y de diferente
extensión. Algunas de las restricciones que se impondrían no parecen ser
demasiado onerosas. Para poder convivir con las lógicas de Łukasiewicz
(futuros contingentes), Bochvar (paradojas), Kleene (indecidibilidad), Halldén
(sinsentidos), Woodruff (huecos veritativos), van Fraassen (presuposición),
basta reconocer que efectivamente la bivalencia es un presupuesto de LC y que ésta
nunca ha pretendido ser aplicable más allá de donde la bivalencia se aplique.
(Sobre
este punto es interesante notar que la adopción de un sistema polivalente no
nos compromete a abandonar la bivalencia,[17]
como tampoco nos compromete a ello el aceptar la existencia de
presuposiciones.)[18]
Por supuesto, esta línea de acción no soluciona
el problema filosóficamente interesante consistente en determinar cuáles son
exactamente los dominios en los que rige la bivalencia.
También
hay que reconocer que LC sólo está
diseñada para lenguajes precisos y para dominios no vacíos, con términos sin
vaguedad y con referentes; en otros casos debe utilizarse una lógica
complementaria, fuzzy y/o libre.
Más difícil es el caso de si una
proposición matemática puede carecer de valor de verdad o de si una contradicción
puede ser admitida sin comprometerse a admitir cualquier cosa. Pero creo que
nada cuesta reconocer que LC sólo se
aplica a oraciones tales que ellas o sus negaciones son verdaderas y que sólo es aplicable a sistemas que acepten que ex contradictoriis quodlibet. Aquí debo
confesar que sobre la aplicación de una lógica paraconsistente albergo serias
dudas, y que mis dudas son aún más serias con respecto a la necesidad de una lógica
cuántica. El grado mayor de conflicto, y esta rivalidad no puede ser soslayada,
es cuando se nos dice que LC es insuficiente para analizar las matemáticas e
incluso se nos dice que el principio de tercio excluso no se cumple en algunas
proposiciones matemáticas (aunque generalmente sin clarificar qué tipo de negación
y de cuantificación existencial se usa; la cuestión
de la aplicación de LC a las matemáticas dependerá, a
mi juicio, de esta clarificación, así como de la plausibilidad de la tesis
constructivista o alguna otra tesis que mostrara que en las proposiciones
matemáticas la bivalencia no se satisface).
De
hecho es difícil justificar el uso de lógicas no-bivalentes para contextos
desusados, y más difícil lo es para contextos usuales. Putnam escribe que “it would be very unnatural to adopt three-valued logic for describing
ordinary macrocosmic situations”.[21]
(Se ha dicho incluso que “in general, no
logically use full systems of sentential logic correspond to the many-valued
propositional calculi”.) [22]
Quedan
como las tesis más dudosas la idea de la no-bivalencia en proposiciones sobre
física subatómica y la de la posibilidad de situaciones contradictorias (la
idea de Aristóteles y de Łukasiewicz de que LC no se aplica a
proposiciones sobre futuros contingentes porque el principio de tercio excluso
conduciría a una posición determinista, está demostrablemente basada en una
inferencia modal falaz, pues se puede sostener que una proposición sobre un
hecho futuro necesariamente es verdadera o falsa, sin estar obligado a aceptar
que es necesariamente verdadera o necesariamente falsa).[23]
Mi conclusión es que existe una zona en
la cual LC funciona bien sin disputa y, si bien existe discrepancia sobre hasta
dOnde es aplicable LC, todas las lógicas no-clásicas parecen reconocer a LC
como la lógica base para situaciones normales:
the various
critics of classical logic seem to accept classical logic as the logic for
normal situations and generally argue that in other situations the rival logics
should be employed, thus they accept the claims of classical logic. Even
intuitionism at times takes this tack.[24]
La
determinación de las zonas de aplicación y la modificación de la noción de
teoremicidad consecuente, serían suficientes para convertir a una lógica
alternativa en una lógica complementaria en varios casos.
Creo
que en filosofía de la lógica la pregunta interesante no puede ser ¿cuá1 es la lógica correcta?, sino ¿hasta dónde
es aplicable cada 1ógica? Tal vez debiéramos compartir la idea de que
propiamente
hablando, la “división” de la lógica en “lógicas” o en tipos de lógica no
expresa diferencia entre formas fundamentales de concebir la lógica, sino
diversificación de campos para la exploración.[25]
¿Que lógica se adapta a la forma en que piensa
la gente? Desgraciadamente, ninguna (al menos ninguna que pueda ser
consistente, completa, decidible o siquiera económica). ¿Qué lógica se adapta a
la forma en que debería pensar la gente? Todas. Cada una circunscrita a un
campo de acción implícitamente determinado por sus propios supuestos.
Si LC
no alcanza para algo que una lógica X puede manejar, no hay razón para concebir
a X como rival y no como complemento. Antes de concluir, debo llamar la
atención sobre el hecho de que he descuidado aspectos de franca contradicción
para hacer más plausibles mis ideas. Un lógico clásico, por ejemplo, cree que
LC se aplica a los futuros contingentes, mientras que Łukasiewicz cree que
no. Mi única justificación es mi creencia en que llegaremos a saber quién tenia
la razón (y tal vez tengamos que restringir LC) y en que tales discusiones no
deben impedir que veamos cómo lo bueno que las lógicas no-clásicas puedan
aportar debe considerarse como una extensión del poder de nuestra lógica.
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[1] Lungarzo (1984), pp. 5, 6 y 12,
presenta una clasificación por niveles que encuentro paralela a la mia:
N1: Teorías basadas en sistemas formales de lógica.
N2: Metateorías para Ni.
N3: Cosmovisión lógica (filosofías e ideologías un poco difusas).
[2] También existen
sistemas modales, temporales, etcetera, que no
se ofrecen como complementarios. Un buen ejemplo de esto es Ł3 o la lógica modal
tetravalente de Łukasiewicz.
[3] También existen
sistemas constructivistas, tales como la teoria de conjuntos de Weyl, que no
cuestionan a LC.
[4] Wolf (1978) ha
señalado que, en el espiritu de Haack, es necesario reformular (3) añadiendo mención
a las reglas de inferencia. Véase también Woods (1977), p. 654 y Griffin
(1978), P. 262.
[5] Ni siquiera es
cierto que todo sistema divergente haya sido pro puesto como rival. El que
Haack descuide esto se refleja en RodrIguez (1976), donde leemos que “el
reconocer que las lógicas divergentes han sido propuestas como sistenias rivales de la LC está fuera de toda duda”
(p. 118). Véase también Garcia Suárez (1977), p. 340.
[6] Quine (1970), p. 81.
[7] Priest (1975), p. 372.
[8] Quine (1970), p.
81. Quine entiende deviant como rival.
[9] Quine (1966), pp.
105-106.
[10] Quine (1970), p.
81. Por ejemplo, Garcia Suárez (1977), p. 843, escribe que Łukasiewicz, en
su lógica trivalente, “ha alterado sutilmente el significado de la disyuncidn
clásica”.
[11] Witnsatt (198?).
[12] Da Costa (1982), p. 9.
[13] Haack (1975), p. 32.
[14] Putnam (1962), p. 377.
[15] Priest (1975), p. 372.
[16] Cfr. Sección 2 de Beuchot (1981).
[17] Véanse Haack (1974), pp. 61-64 y Woods
(1977), p. 658.
[18] dr. Bergmann (1981).
[19] Pefia (1982), p. 461.
[20] Véanse Morado (1983) y (198?).
[21] Putnam (1957), p. 78.
[22] Rescher (1955), p. 55.
[23] Véase, por ejemplo,
Ayer (1956), p. 170, Hughes y Cresswell (1972), P. 27, o el capltulo sobre
“Future Contingents” en Haack
(1974).
[24] Wolf (1978), p. 388
y Lungarzo (1984), pp. 81-82.
[25] Ferrater Mora (1979), p. 2014.